လည်ခြင်းစနစ်များ (Part 3)

လည်ခြင်းစနစ်များ (Rotations) Part 1

လည်ခြင်းစနစ်များ (Rotations) Part 2

ထောင့်ပြောင်းအဟုန် (Angular momentum)

၅ ပေလောက်အရှည်ရှိတဲ့ ဝါးလုံးတစ်လုံးကို တူညီတဲ့နှုန်းနဲ့ အလယ်က ကိုင်လှည့်တာနဲ့ အဖျားကလှည့်တာ ဘယ်ဟာပိုခက်မယ်ထင်ပါသလဲ။ နောက်တစ်ခါ ပြင်ပအားသက်ရောက်မှုမရှိပဲနဲ့ လည်ပတ်နှုန်းကိုပြောင်းလို့ရော ရနိုင်ပါသလား။ ဒီအပိုင်းကို ဖတ်ပြီးသွားရင် ဒီမေးခွန်းတွေရဲ့အဖြေကို နားလည်နိုင်မှာဖြစ်ပါတယ်။

နယူတန်ဒုတိယနိယာမအရ အားက အဟုန်ပြောင်းလဲနှုန်းနဲ့ တိုက်ရိုက်အချိုးကျပါတယ်။ အားသက်ရောက်မှုတစ်ခုရှိရင် အဟုန်တိုးလာပါမယ်။

\vec{F}=\cfrac{d\vec{p}}{dt}

ဒီတော့ အားနဲ့ လိမ်အားတို့ နှိုင်းယှဉ်ချက်အရ လိမ်အားက ထောင့်ပြောင်းအဟုန်ပြောင်းလဲမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေတယ်လို့ ခန့်မှန်းနိုင်ပါတယ်။ ပွတ်မှုအားနဲ့ စွမ်းအင်ဆုံးရှုံးမှုတွေမရှိရင်၊ ပြင်ပလိမ်အားသက်ရောက်မှုလည်းမရှိရင် လည်နေတဲ့အရာတစ်ခုက ဆက်လည်နေမယ်လို့ ခန့်မှန်းနိုင်ပါတယ်။ \vec{F} နဲ့ \vec{r} ကိုမြှောက်ရင် လိမ်အား \vec{\tau} ကိုရပြီး \tau ရဲ့ ဦးတည်ရာက rotation plane ကို ထောင့်မှန်ကျတယ်ဆိုတာ သိပြီ:ပါပြီ။ အခုဆက်ပြောမယ့်အပိုင်းတွေမှာ \tau ရဲ့ component သုံးကြောင်းစီ မရေးချင်တဲ့အတွက် principal plane rotation ကိုသုံးပြီး \tau component တစ်ခုပဲရှိတယ် လို့ ယူဆကြစို့။

\tau = F.r

နယူတန်ဒုတိယနိယာမအရ−

F=\cfrac{dp}{dt}=m\cfrac{dv}{dt}

But v=r.\omega

အခု လောလောဆယ် ဝတ္ထုကိုဖွဲ့ စည်းထားတဲ့ အမှုန်အများကြီးထဲက အမှုန်တစ်မှုန်စာကိုပဲ စဉ်းစားပါမယ်။ F က အမှုန်ပေါ်မှာ သက်ရောက်တယ်ဆိုရင် F.r က r နဲ့ v=r.\omega က r တို့က အတူတူပဲဖြစ်ပါမယ်။

F= m\cfrac{dv}{dt} = m.r\cfrac{d\omega }{dt}  \frac{d\omega }{dt} က သင်ထင်တဲ့အတိုင်း ထောင့်ပြောင်းအရှိန်ကိုပြောဖြစ်ပြီ: \dot{\omega } လို့လည်းရေးပါတယ်။ ဒီတော့−

\tau=F.r=mr^2\cfrac{d\omega }{dt}

ဒီညီမျှခြင်းကို F=m\frac{dv}{dt} နဲ့ နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ရင် \tau က F နဲ့ဆင်တူပြီး၊ \omega က v နဲ့ဆင်တူတယ်ဆိုရင် mr^2 က m နဲ့ ဆင်တူတာကို တွေ့ရပါမယ်။ ဒြပ်ထုလိုမျိုး အင်နားရှားသဘောကိုဆောင်တာကြောင့် mr^2 ကိန်းကို moment of inertia လို့ခေါ်ပါတယ်။ moment ဆိုတာက lever သဘောကို ပြတဲ့စကားလုံးတစ်ခုပဲဖြစ်ပါတယ်။ Moment of inertia ကို  သင်္ကေတ I နဲ့ ပြလေ့ရှိပါတယ်။ ဝတ္ထုတစ်ခုကို အမှုန်သေးသေးလေး​​​​တွေ အများကြီးနဲ့ ဖွဲ့စည်းထားတဲ့အတွက် ဝတ္ထုရဲ့ I စုစုပေါင်းကိုလိုချင်ရင် အမှုန်လေး​​​တွေရဲ့ I အားလုံးပေါင်းပေးရပါမယ်။

I=\sum m_i r_i^2

ဥပမာတစ်ခုအနေနဲ့ ဝါးလုံးလိုမျိုး ဆလင်ဒါပုံစံအချောင်းတစ်ချောင်းရဲ့ moment of inertia ကို ရှာကြည့်ပါမယ်။ အရင်ဆုံး ဝါးလုံးအဖျားကနေ လှည့်ကြည့်ပါမယ်။

ဝါးလုံးရဲ့ ကန့်လန့်ဖြတ်ပိုင်းပုံက စက်ဝိုင်းပုံရှိတဲ့အတွက် ဝါးလုံးကိုစက်ဝိုင်းပြားလေး​တွေအများကြီးနဲ့ ဖွဲ့စည်းထားတယ်လို့ မြင်ကြည့်ပါ။ ဒါဆို စက်ဝိုင်းပြားတစ်ခုစီမှာ ဒြပ်ထု m_i နဲ့ ဝင်ရိုးကအကွာအဝး r_i တို့ရှိပါမယ်။

I=\sum m_i r_i^2 = \int r^2 dm

ဝါးလုံးရဲ့ ကန့်လန့်ဖြတ်ဧရိယာက A ဖြစ်ပြီး သိပ်သည်းဆက \rho ဖြစ်မယ်ဆိုရင်−

dm=\rho A.dr

  \text{So, } I=\rho A \int r^2 dr=\rho A \cfrac{L^3}{3}=m \cfrac{L^2}{3}

နောက်တစ်ခါ ဝါးလုံးရဲ့ဒြပ်ထုဗဟိုချက်ဖြစ်တဲ့ အလယ်တည့်တည့်ကိုဝင်ရိုးထားပြီး လှည့်ကြည့်ပါမယ်။

ဒီအခြေအနေကို အလျား \frac{L}{2} ရှိတဲ့ ဝါးလုံးနှစ်လုံးကို အစွန်ကလှည့်တယ်လို့လည်း မြင်နိုင်ပါတယ်။ ဒီ​ေတာ့−

I=2 \cfrac{m}{2} \cfrac{(\cfrac{L}{2})^2}{3}=m \cfrac{L^2}{12}

ဒါကြောင့် ဝါးလုံးကို အလယ်ကနေလှည့်ရင် moment of inertia နည်းတဲ့အတွက် အဖျားကလှည့်တာထက် ပိုပြီးလွယ်ကူပါတယ်။

လည်ပတ်တဲ့ ဝင်ရိုးက ဝတ္ထုရဲ့ဒြပ်ထုဗဟိုချက်မှာ မဟုတ်တဲ့ (ဥပမာ ဝါးလုံးကို အဖျားကလှည့်တာမျိုး) စနစ်​ေတွအတွက် မူလညီမျှခြင်း \int r^2 dm နဲ့တွက်လို့ရသလို ပိုမြန်တဲ့နည်းလမ်းတစ်ခုနဲ့လည်း တွက်လို့ရပါတယ်။ ဒါက​ေတာ့ ဝတ္ထုရဲ့ဒြပ်ထုစုစုပေါင်းကို ဒြပ်ထုဗဟိုချက်မှာ စုစည်းစေလိုက်ပြီး အဲ့လောက်ဒြပ်ထုရှိတဲ့ အမှုန်တစ်ခုအနေနဲ့ပဲ ရွေ့လျားစေတာဖြစ်ပါတယ်။ ဒါဆိုရင် အဲ့ဒီ့အမှုန်ရဲ့ I ကို mr^2 နဲ့တွက်လို့ရပါမယ်။ ဒါပေမယ့်ဒါက ဒြပ်ထုဗဟိုချက်ရွေ့တာကိုပဲ စဉ်းစားထားတာဖြစ်ပါတယ်။ အရွယ်အစားရှိတဲ့ပစ္စည်း (ဥပမာ သံလုံးတစ်လုံး)ကို လှည့်တဲ့အခါ mr^2 နဲ့တွက်ရင် မှားပါလိမ့်မယ်။ ဘာကြောင့်လဲဆို​တော့ ဝတ္ထုက ပြင်ပဝင်ရိုးကိုပတ်လည်ရုံသာမက သူ့ရဲ့ဒြပ်ထုဗဟိုချက်မှာပါ လည်နေတာကြောင့်ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကိုပိုပြီ:သိသာစေဖို့အတွက် ဒြပ်ထုဗဆိုချက်မှာ reference frame နောက်တစ်ခု (x’, y’) ကိုထားကြည့်ပါမယ်။ ဒါဆိုရင် frame (x’, y’) ကိုယ်တိုင်က ဝင်ရိုးကိုပတ်ပြီးလည်နေပါမယ်။ ဒီ frame ကနေပြီး သံလုံးပေါ်မှာရှိတဲ့ အမှုန်လေးတစ်ခုရဲ့ရွေ့လျားမှုကို စစ်ဆေးကြည့်ပါမယ်။ အောက်ကပုံမှာ အနီစက်လေးက သံလုံးမျက်နှာပြင်ပေါ်မှာရှိတဲ့ အမှုန်တစ်ခုဖြစ်ပါတယ်။ သံလုံးနဲ့ ဝင်ရိုးကိုဆက်သွယ်ထားတဲ့ အချောင်းရဲ့ ဒြပ်ထုကို​​​တော့ လျစ်လျူရှုနိုင်ပါတယ်။

အပေါ်ကပုံအရ သံလုံးကိုဖွဲ့စည်းထားတဲ့အမှုန်​တွေက frame (x, y) ကို ပတ်ပြီး လည်နေရုံသာမကပဲ သံလုံးရဲ့ ဒြပ်ထုဗဟိုချက်ကိုပါ ပတ်ပြီးလည်နေတာကို ​တွေ့ရပါတယ်။ ဝတ္ထုရဲ့အပြင်မှာရှိတဲ့ ဝင်ရိုးကို ပတ်ပြီးလည်တာကို revolve လို့ခေါ်ပြီး ဒြပ်ထုဗဟိုချက်ကိုပတ်ပြီးလည်တာကို rotate လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဒါဆို ကိုယ်ပိုင်ဗဟိုချက်ကို ပတ်လည်ဖို့လိုတဲ့ moment of inertia ကိုပါ ထပ်ရှာရပါမယ်။

ဝတ္ထု (ဥပမာ သံလုံး) ကို အမှုန်သေးသေးလေး​ေတွအများကြီးနဲ့ ဖွဲ့စည်းထားပါတယ်။ ဒီအမှုန်တစ်မှုန်ချင်းစီမှာ ဒြပ်ထု m_i နဲ့ ဒြပ်ထုဗဟိုချက်က အကွာအ​ဝေး r_i ရှိတဲ့အတွက် moment of inertia လည်း ကိုယ်စီရှိပါတယ်။ အမှုန်​တွေအကုန်လုံးက moment of inertia ​ေတွအားလုံးပေါင်းလိုက်ရင် ဝတ္ထုရဲ့ ဒြပ်ထုဗဟိုချက်မှာရှိတဲ့ moment of inertia ကို ရပါမယ်။

I_{CM}=\sum m_i r_i^2=\int r^2 dm

ဒါဆိုရင် စောစောက သံလုံးပတ်လည်တဲ့ပုံအတွက်−

ဒီညီမျှခြင်းကို parallel axis theorem လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဒြပ်ထုဗဟိုချက်ကိုဖြတ်သွားတဲ့ ဝင်ရိုးနဲ့ ပတ်နေတဲ့ဝင်ရိုးကြားက အကွာအ​ေဝးက R ဖြစ်ပြီး ဝင်ရိုးနှစ်ခုက အပြိုင်ဖြစ်ရပါမယ်။ ပုံမှန်ပုံသဏ္ဍာန် (လေးထောင့်၊ အဝိုင်း၊ ဆလင်ဒါ) ရှိတဲ့ ပစ္စည်း​တွေရဲ့ ဒြပ်ထုဗဟိုချက်မှာရှိတဲ့ moment of inertia ​ေတွကို ပြုစုထားတဲ့ ဇယား​ေတွရှိတဲ့အတွက် အပြင် ဝင်ရိုးမှာရှိတဲ့ moment of inertia ကို လိုချင်ရင် parallel axis formula နဲ့ တွက်လိုက်ရုံပါပဲ။

အားနဲ့ လိမ်အားတို့ရဲ့ ဆက်စပ်ချက်အရ လိမ်အားက ထောင့်ပြောင်းအဟုန်ပြောင်းလဲမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေပါတယ်။ ထောင့်ပြောင်းအဟုန် ညီမျှခြင်းကို ရှာဖို့အတွက် လိမ်အားညီမျှခြင်းကို ပြန်ကြည့်ပါမယ်။

\tau=mr^2 \cfrac{d\omega }{dt}= \cfrac{d(I \omega )}{dt} = \cfrac{dL}{dt}

အပေါ်က ရလဒ်အရ ထောင့်ပြောင်းအဟုန်ညီမျှခြင်းက−

L=I.\omega

Vector ပုံစံနဲ့ရေးရင်−

\vec{L}=I \vec{\omega } \vec{L} ရဲ့ ဦးတည်ရာက \vec{\tau } လိုပဲ rotational plane ကို ထောင့်မှန်ကျပြီး ညာလက်ထုံးကို လိုက်နာပါတယ်။ L ကို မျည်းဖြောင့်အဟုန် (linear momentum) နဲ့လည်း ဆက်နွယ်ပြီး ရှာလို့ရပါသေးတယ်။ အားတစ်ခုက မျည်းဖြောင့်အဟုန်ပြောင်းလဲနှုန်းကို ဖြစ်ပေါ်စေပါတယ်။ တကယ်လို့ ဝင်ရိုးကိုပတ်လည်နေတဲ့အရာဆိုရင် အမှုန်တစ်ခုအတွက်−

\tau = F.r=\cfrac{dp}{dt} .r=\cfrac{dp.r}{dt}

ထုံးစံအတိုင်း p နဲ့ r က ထောင့်မှန်ကျရမှာဖြစ်ပြီး ထောင့်မှန်မကျရင် component ခွဲတွက်ရမှာဖြစ်ပါတယ်။ Vector ပုံစံနဲ့ဆိုရင်−

\vec{L}=\vec{p} \times \vec{r}

ဝတ္ထုတစ်ခုလုံးအတွက်ဆိုရင် L တွေအားလုံးပေါင်းရမှာ ဖြစ်ပါတယ်။

ထောင့်ပြောင်းအဟုန်တည်မြဲခြင်းနိယာမ (Angular momentum)

နယူတန် တတိယနိယာမအရ စနစ်တစ်ခုအတွင်းမှာ သက်ရောက်အားနဲ့ တန်ပြန်သက်ရောက်အား​ေတွက တူညီတဲ့အတွက် ပြင်ပသက်ရောက်အားကသာ အဟုန်ပြောင်းလဲမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်ပါတယ်။ လိမ်အားကလည်း အားနဲ့ အကွာအ​ဝေးနဲ့ မြှောက်ရတဲ့အတွက် ပြင်ပလိမ်အားကသာ ထောင့်ပြောင်းအဟုန်ပြောင်းလဲမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်ပါတယ်။ ဒီ​​​တော့ ပြင်ပလိမ်အားသက်ရောက်မှုမရှိရင် ထောင့်ပြောင်းအဟုန်က စနစ်အတွင်းမှာ ကိန်းသေဖြစ်ပါတယ်။

\vec{L}=I \vec{\omega }=\vec{p} \times \vec{r}

Linear momentum မှာ mass (m) က ကိန်းသေဖြစ်ပေမယ့် angular momentum မှာ moment of inertia (I) က ဝင်ရိုးက အကွာအ​​ဝေး (r^2) ကို မူတည်ပါတယ်။ ဒီတော့ L က ကိန်းသေဖြစ်ပေမယ့် I ကို လျှော့ချလိုက်ရင် \omega က တိုးလာမှာဖြစ်ပြီး I ကို တိုးလိုက်ရင် \omega က လျော့သွားမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီဥပဒေသကို အောက်က video မှာ လက်​တွေ့စမ်းပြထားတာ တွေ့နိုင်ပါတယ်။

အလေးတုံးတွေကို ဆန့်ထုတ်လိုက်တဲ့အချိန်မှာ radius တိုးသွားတဲ့အတွက် I များလာပြီး လည်နှုန်းလျော့သွားတာကို မြင်နိုင်ပါတယ်။ ဝင်ရိုးနဲ့ ကပ်လိုက်ရင်​တော့ moment of inertia နည်းသွားပြီး လည်နှုန်းပိုမြန်လာတာကို မြင်နိုင်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် ပြင်ပလိမ်အားသက်ရောက်မှုမရှိပဲ ကိုယ့်ရဲ့ လည်ပတ်နှုန်းကို ပြောင်းလဲနိုင်ပါတယ်။