Review
အပိုင်း (၁) နဲ့ (၂) မှာရိုးရှင်းတဲ့ spring-mass စနစ်တစ်ခုရဲ့ပြုမူပုံကိုဖော်ပြတဲ့ ညီမျှခြင်းကိုတွက်ချက်ခဲ့ပါတယ်။ အပိုင်း (၂) မှာ initial condition တွေအကြောင်းကိုပြောခဲ့ပါတယ်။ Simple spring-mass စနစ်ရဲ့ ယေဘူယျအကျဆုံးအဖြေကတော့−
\displaystyle x(t)=A \cos \omega_0 t + B \sin \omega_0 t
(သို့မဟုတ်)
\displaystyle x(t)=a \cos (\omega_0 t + \Delta)
အပေါ်ကညီမျှခြင်းနှစ်ခုလုံးက မှန်တဲ့ယေဘူကျအဖြေတွေဖြစ်ပါတယ်။ \omega_0 က natural frequency၊ a က amplitude နဲ့ \Delta က phase shift ဖြစ်ပါတယ်။ A,B,a တို့ကို initial condition တွေကနေရှာရပါမယ်။ ဥပမာ t=0 မှာရှိတဲ့ position x_0 နဲ့ velocity v_0 တို့ကိုသိရင် x(t) ကိုရှာနိုင်ပါတယ်။ အခု x(t) ကို differentiate လုပ်ပြီး v(t) ကိုရှာရအောင်။
\displaystyle v(t)=-\omega_0 A \sin \omega_0 t + \omega_0 B \cos \omega_0 t x(t) နဲ့ v(t) ညီမျှခြင်းတွေကို t=0 မှာဖြေရှင်းပြီး \sin 0 = 0 နဲ့ \cos 0 = 1 ကိုထည့်လိုက်ရင်−
\displaystyle x(0)=x_0=A , v(0)=v_0=\omega_0 B
ဒီတော့ A=x_0 နဲ့ B=\frac{v_0}{\omega _0} ရမယ်။ a နဲ့ \Delta တန်ဖိုးတွေကိုလည်း အလားတူပဲရှာရပါမယ်။ ဒီကိန်းသေတန်ဖိုးတွေကိုသိရင် x နဲ့ v တို့ရဲ့ time အလိုက်ပြောင်းလဲမှုကို အပြည့်အစုံသိရပြီဖြစ်ပါတယ်။
Energy in oscillation
အခု spring-mass စနစ်ရဲ့ oscillation ဖြစ်နေချိန်မှာရှိတဲ့ energy တွေကိုရှာကြည့်ရအောင်။ ပိုပြီ:ရှင်းလင်းအောင်−
\displaystyle x(t)= a \cos (\omega_0 t + \Delta) နဲ့
\displaystyle v(t)=-a \omega_0 \sin (\omega_0 t + \Delta)
တို့ကိုသုံးပါမယ်။ ဒီစနစ်မှာ အလေးတုံးရွေ့လျားမှုက အရွေ့စွမ်းအင်နဲ့ စပရိန်က အတည်စွမ်းအင်တို့ရှိပါမယ်။ အရွေ့စွမ်းအင်က သိတဲ့အတိုင်း−
\displaystyle T=\frac 12 mv^2
\displaystyle T=\frac 12 ma^2 \omega_0 ^2 \sin^2 (\omega_0 t + \Delta) \displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac km} ကိုထည့်လိုက်ရင်−
\displaystyle T=\frac 12 ka^2 \omega_0^2 \sin^2 (\omega_0 t+\Delta)
အရွေ့စွမ်းအင်ကလည်း time အလိုက် oscillate ဖြစ်နေတာကို (အံ့သြဖွယ်မကောင်းစွာ) တွေ့ရပါတယ်။ စပရိန်ရဲ့ အတည်စွမ်းအင်က \int kx \ dx = \frac 12 kx^2 ဖြစ်တာကြောင့်−
\displaystyle U=\frac 12 k a^2 \cos^2 (\omega_0 t + \Delta)
အလေးတုံး အမြင့်ဆုံးနေရာရောက်ရင် အရွေ့စွမ်းအင်သုညဖြစ်သွားပြီ: အတည်စွမ်းအင်ကအများဆုံးဖြစ်သွားပါမယ်။ စဉ်းစားကြည့်ရင် အရွေ့စွမ်းအင်နဲ့ အတည်စွမ်းအင်က တစ်လှည့်စီ နည်းလိုက်များလိုက်ဖြစ်နေပါတယ်။ ဒါပေမယ့် စွမ်းအင်စုစုပေါင်းက ကိန်းသေဖြစ်ရပါမယ်။
\displaystyle T+U=\frac 12 ka^2 [\sin^2 (\omega_0 t+\Delta) + \cos^2 (\omega_0 t + \Delta)] = \frac 12 ka^2
k နဲ့ a (maximum amplitude) က ကိန်းသေဖြစ်တဲ့အတွက် စွမ်းအင်စုစုပေါင်းက အမြဲတမ်းကိန်းသေဖြစ်ပါတယ်။
Forced oscillations
Free oscillation ပြီးသွားတဲ့အခါ spring-mass စနစ်ပေါ်ကို ပြင်ပအားသက်ရောက်နေတဲ့ forced oscillation ကိုလေ့လာပါမယ်။
Equation of motion က−
\displaystyle F=mx'' x'' က x ကိုနှစ်ခါရှိတ်ထားတာကိုဆိုလိုပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ time အလိုက်ရှိတ်ထားတာဖြစ်တဲ့အတွက် \frac{d^2x}{dt^2} နဲ့အတူတူပါပဲ။ ဒါပေမယ့် x'' ကစာရိုက်ရတာပိုသက်သာပါတယ်။
\displaystyle x''=\frac 1m \left[ -kx+F(t) \right]
Time အလိုက်ပြောင်းလဲနိုင်တဲ့ force function တွေကမျိုးစုံရှိနိုင်ပါတယ်။ ပထမဆုံးအနေနဲ့ ရိုးရှင်းတဲ့ function တစ်ခုဖြစ်တဲ့ oscillate ဖြစ်နေတဲ့ force ကိုပေးကြည့်ပါမယ်။
\displaystyle F(t)=F_0 \cos \omega t F_0 က force ရဲ့ maximum amplitude ဖြစ်ပြီး \omega က force ရဲ့ frequency ဖြစ်ပါတယ်။ ( \omega_0 နဲ့ယေဘူယျအားဖြင့် မတူပါဘူး။) Force ရဲ့ frequency က စနစ်ရဲ့ဖွဲ့စည်းပုံပေါ်မတူတည်ပဲ ကိုယ်ပေးချင်တာပေးလို့ရပါတယ်။ F(t) နဲ့ \omega_0 တွေကိုအစားသွင်းလိုက်ရင် ဖြေရှင်းရမယ့်ညီမျှခြင်းက အောက်ကအတိုင်းဖြစ်ပါတယ်။
\displaystyle x''=-\omega_0 ^2 x+ \frac{F_0}{m} \cos \omega t
ဒီညီမျှခြင်းရဲ့အဖြေတစ်ခုက x=C \cos \omega t လို့ခန့်မှန်းနိုင်ပါတယ်။ (Spring-mass က ပြင်ပသက်ရောက်အားအလိုက်လှုပ်ရှားမယ်လို့ ခန့်မှန်းတာပါ။) ဒီအဖြေကို စစ်ဆေးဖို့ x ကိုနှစ်ခါရှိတ်ရပါမယ်။
\displaystyle x'=-\omega C \sin \omega t
\displaystyle x''=-\omega^2 C \cos \omega t
ကိန်းသေ C ကိုသာမှန်အောင်ရွေးချယ်နိုင်ရင် ဖြေရှင်းရမယ့် x'' ညီမျှခြင်းနဲ့ ကိုက်ညီနိုင်ပါတယ်။ ဒီတော့ အခုရလဒ်ကို မူလညီမျှခြင်းနဲ့တူညီစေပြီ: C ကိုရှာပါမယ်။
\displaystyle -\omega^2 C \cos \omega t=-\omega_0 ^2 C \cos \omega t+ \frac{F_0}{m} \cos \omega t \displaystyle \cos \omega t တွေကနှစ်ဖက်လုံးမှာပါတဲ့အတွက် သူတို့ကိုချေပြီ: C ကိုရှာလိုက်ရင်−
\displaystyle C=\frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}
ကိုရပါမယ်။ ဒီကိန်းသေက x(t) ရဲ့ maximum amplitude ပါပဲ။ အခုရတဲ့အဖြေက forced oscillation အတွက်ယေဘူယျအဖြေတော့မဟုတ်သေးပါဘူး။ Initial condition တွေမှန်ကန်မှသာဒီအဖြေကမှန်မှာဖြစ်ပြီ: တစ်ခြားအခြေအနေတွေမှာ ခဏအတွင်းသာဖြစ်တဲ့ မတည်ငြိမ်တဲ့တုန့်ပြန်မှုတစ်ခုရှိပါတယ်။ အခုအဖြေကို steady-state response လို့ခေါ်ပြီး ကျန်တဲ့အပိုင်းတစ်ခုကို transient response လို့ခေါ်ပါတယ်။ ယေဘူယျအဖြေကို နောက်ပိုင်းမှာဖော်ပြသွားပါမယ်။
အခုရတဲ့ forced oscillation အတွက် maximum amplitude (C) ညီမျှခြင်းကိုလေ့လာကြည့်ရင် \omega_0 နဲ့ \omega (နှစ်ထပ်ကိန်း) တို့ရဲ့ခြားနားချက်ပေါ်မူတည်တာကို တွေ့ရပါလိမ့်မယ် (F_0 ကိုအသေထားရင်)။ Forced frequency \omega က အလွန်သေးငယ်ရင် x နဲ့ F က direction အတူတူပါပဲ။ ဒီလိုမဟုတ်ပဲ \omega က \omega_0 ထက်များနေမယ်ဆိုရင် C က အနှုတ်ဖြစ်ပြီး x နဲ့ F က direction ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်ပါမယ်။ Frequency အရမ်းများရင်တော့ စားကိန်းက အရမ်းကြီးပြီ: amplitude နည်းနည်းလေးပဲရပါလိမ့်မယ်။
စိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းတဲ့နောက်တစ်ချက်က \omega နဲ့ \omega_0 နဲ့ထပ်တူနီးပါးတူညီတဲ့အခါ စားကိန်းက အရမ်းနည်းသွားပြီ: amplitude က အရမ်းများလာပါမယ်။ ဒီသဘောတရားက ကလေးစီးဒန်းကို လွှဲပေးဖူးတဲ့သူဆိုသိပါတယ်။ ဒန်းလွှဲတဲ့ပုံစံနဲ့ လူကအချိန်ကိုက် အားသက်ရောက်ပေးရင် သိပ်အားစိုက်စရာမလိုပဲ အများကြီ:လွှဲနိုင်ပါတယ်။ ဒီလိုမဟုတ်ပဲ မျက်စိမှိတ်ပြီး ကျပန်းလွှဲပေးရင်တော့ ဒန်းလွှဲပုံနဲ့မကိုက်ပဲ တွန်းရမယ့်နေရာဆွဲပြီး amplitude နည်းသွားပါတယ်။
\omega နဲ့ \omega_0 နဲ့လုံးဝတူညီရင်တော့ညီမျှခြင်းအရ amplitude က အနန္တဖြစ်သွားပါတယ်။ ဒါကတော့ လက်တွေ့မှာမဖြစ်နိုင်ပါဘူး။ Amplitude များလာရင် friction နဲ့ တစ်ခြား force တွေသက်ရောက်လာနိုင်ပါတယ်။ ဒါမှမဟုတ် စပရိန်ပြတ်ထွက်သွားနိုင်ပါတယ်။True knowledge is earned, not given.
A.G. Riddle
Leave a Reply