Harmonic Oscillator – Part 2

ပထမအပိုင်းတုန်းက oscillator ရဲ့ ညီမျှခြင်းဖြစ်တဲ့  \frac{d^2x}{dt^2}=-x ကိုဖြေရှင်းလိုက်တော့ x=\cos t ရခဲ့ပါတယ်။ ဒါပေမယ့်မူလညီမျှခြင်းဖြစ်တဲ့−

\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{k}{m}  x −−−−Eqn(1)

ကိုဖြေရှင်းဖို့ကြိုးစားကြည့်ရအောင်။ ဒီညီမျှခြင်းကို ပထမညီမျှခြင်းနဲ့နှိုင်းယှဉ်လိုက်ရင် factor \frac km ပိုလာတယ်ဆိုတော့ အဖြေ x \  (= \cos t) ကိုတစ်ခုခုနဲ့မြှောက်ရင် အဖြေမှာအဲ့ဒီ factor ပါလာနိုင်မလား။ အရင်ဆုံး x ကို ကိန်းသေ A နဲ့မြှောက်ပြီး x=A \cos t ကိုအစားသွင်းလိုက်ရင် အဖြေက -Ax ရလားကြည့်ရအောင်။

\displaystyle x=A\cos t

\displaystyle \frac{dx}{dt}=-A\sin t

\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-A\cos t=-x

အဲ နောက်ဆုံးအဖြေမှာ ကျွန်တော်တို့လိုချင်တဲ့ x ရှေ့က factor A ပါမလာပါဘူး။ ဒီတော့ x=A\cos t က လိုချင်တဲ့အဖြေမဟုတ်သေးပါဘူး။ ဒါပေမယ့် သူက \frac{d^2x}{dt^2}=-x ရဲ့အဖြေဖြစ်နေတာကိုပဲ တွေ့ရပါတယ်။ ဒါကတိုက်ဆိုင်တာမဟုတ်ပဲ LDE တွေရဲ့ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုပဲဖြစ်ပါတယ်။ LDE ရဲ့အဖြေ (LDE ကိုပြေလည်စေသော function) တစ်ခုကို constant တစ်ခုနဲ့မြှောက်ခြင်းကလည်း အဖြေနောက်တစ်ခုပဲဖြစ်ပါတယ်။ တစ်နည်း x က LDE တစ်ခုရဲ့အဖြေဖြစ်မယ်ဆိုရင် Ax ကလည်း သူ့ရဲ့အဖြေပဲဖြစ်တယ်။ အလေးတုံးအခြေအနေနဲ့ပြောရရင် x ကို 2 နဲ့မြှောက်တာက အလေးတုံးသွားတဲ့အကွာအဝေး၊ အရှိန်တွေကိုပါ နှစ်ဆတိုးသွားစေပါတယ်။ ဒါပေမယ့် အကွာအဝေးနှစ်ဆကို အရှိန်နှစ်ဆနဲ့သွားတဲ့အတွက် အချိန်ကအတူတူပဲယူပါတယ်။ တစ်နည်းပြောရရင် x နဲ့ 2x က အပေါ်အောက်ရွေ့လျားချိန် time scale (period) မှာအတူတူပဲဖြစ်ပြီ: ရွေ့လျားတဲ့အကွာအဝေး (သို့) လွှဲကျယ် (​amplitude) ပဲကွာတာဖြစ်ပါတယ်။

ညီမျှခြင်း (၁) ကိုဖြေရှင်းဖို့ နောက်ကိန်းတစ်ခုကိုတင်သွင်းကြည့်ပါမယ်။ ဖြစ်နိုင်တဲ့ function အမျိုးမျိုးကို ဒီညီမျှခြင်းထဲထည့်ပြီ: ပြေလည်စေလားဆိုတာကြည့်တာပေါ့။ ဒီတော့  x ကို constant နဲ့မြှောက်တာမရဘူးဆိုရင် time variable ဖြစ်တဲ့ \cos t ထဲက t ကိုမြှောက်ကြည့်ရင်ရော။ ဥပမာ x=\cos \omega_0 t က ညီမျှခြင်း (၁) ပုံစံကိုပြေလည်စေလားဆိုတာ စမ်းကြည့်ရအောင်။ \omega_0 က စောစောက A လိုပဲ ကိန်းသေတစ်ခုပါပဲ။

\displaystyle x=\cos \omega_0 t

\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\omega_0 \sin \omega_0 t

\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 \cos \omega_0 t

ဒီညီမျှခြင်းကို ညီမျှခြင်း (၁) နဲ့နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ပြီး \omega_0^2 = \frac km ကိုထည့်လိုက်ရင် x=\cos \sqrt{\frac km} t က ဒီညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေတာတွေ့ရပါမယ်။ ဒီမှာသုံးတဲ့ \omega_0 ကိုယ်တိုင်ကလည်း အရေးပါတဲ့ကိန်းတစ်ခုဖြစ်တဲ့အတွက် နောက်ပိုင်းမှာသူ့ကိုပဲ အသုံးပြုသွားပါမယ်။

\omega_0 ကဘာကိုဆိုလိုတာလဲ၊ တစ်နည်း \omega_0 ကဘာကိုပြတဲ့ကိန်းလဲ။ \cos \omega_0 t ကိုကြည့်ပါ။ Cosine function ကသိတဲ့အတိုင်း periodic function လို့ခေါ်တဲ့ အဝိုင်းပတ်သလိုပြန်ပြန်ထပ်နေတဲ့ function တစ်ခုဖြစ်တယ်။ သူ့ရဲ့တစ်ပတ်ပြန်လည်တဲ့ထောင့်က 2\pi ။ ဒီတော့ \omega_0 t=2\pi မှာ x က မူလတန်ဖိုးပြန်ရောက်မယ် (အလေးတုံးကမူလနေရာပြန်ရောက်မယ်)။  တစ်ပတ်ပြည့်ဖို့ကြာမယ့်အချိန်(period) ကတော့ t_b=\frac{2\pi}{\omega_0} ဖြစ်မယ်။ ဒီတော့ အလေးတုံးထက်အောက်တစ်ပတ်လွှဲချိန် (period) က \omega_0 နဲ့ပြောင်းပြန်အချိုးကျပါတယ်။ \omega_0 ညီမျှခြင်းကို နောက်တစ်ခေါက်ပြန်ကြည့်စို့။

\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac km}

\displaystyle t_b=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi \sqrt{\frac mk}

ဒီညီမျှခြင်းအရ period က အလေးတုံးဒြပ်ထု (m) နဲ့တိုက်ရိုက်အချိုးကျပြီ: စပရိန်ကိန်းသေ (k) နဲ့ပြောင်းပြန်အချိုးကျပါတယ်။ ပိုလေးတဲ့အလေးတုံးကိုသုံးရင် အင်နားရှားများတဲ့အတွက် လှုပ်ရှားမှုနှေးပြီးအိပဲ့အိပဲ့ဖြစ်နေတာကြောင့် တစ်ပတ်ပြည့်ဖို့အချိန်ပိုယူပါတယ်။ စပိရိန်ကိန်းသေများတာကိုသုံးရင် စပရိန်ကပိုတောင့်တာကြောင့် အလေးတုံးကိုပိုဆွဲနိုင်ပြီး မြန်မြန်လှုပ်ရှားစေတာဖြစ်ပါတယ်။

\omega_0 ကို spring-mass စနစ်ရဲ့ သဘာဝကြိမ်နှုန်း (natural frequency) လို့ခေါ်ပါတယ်။ အခုလောလောဆယ် ဒီစနစ်ကပြင်ပသက်ရောက်အားမရှိပဲ သူ့သဘာဝအတိုင်းလှုပ်ရှားနေတာကြောင့် ဒီလိုခေါ်တာဖြစ်ပါတယ်။ ကြိမ်နှုန်း (frequency) ဆိုတာ တစ်စက္ကန့်အတွင်း အလေးတုံး အပေါ်အောက်ဘယ်နှစ်ပတ်ရွေ့လဲဆိုတာပြတဲ့ကိန်းပါ။  Period အတိုင်းပဲ natural frequency ကလဲ ဒီစနစ်ကိုဖွဲ့စည်းထားတဲ့ spring constant နဲ့ mass တို့ပေါ်မူတည်ပါတယ်။

k နဲ့ m ကိုသိရင် t_b နဲ့ \omega_0 ကိုတွက်လို့ရပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ဘယ်လောက်ရွေ့မယ် ( x_max )၊ တစ်နည်း လွှဲကျယ်(amplitude) ကိုတော့ တွက်လို့မရသေးပါဘူး။ Amplitude ကအလေးတုံးကို စတင်လှုပ်ရှားစေတဲ့အခြေအနေ (initial x or velocity v=\frac{dx}{dt} ) ပေါ်မူတည်ပါတယ်။

မူလအခြေအနေများ (Initial conditions)

မူလအခြေအနေဆိုတာ စနစ်ကိုစတင်တွက်ချက်တဲ့အချိန် ( t=0 ) မှာရှိတဲ့ အရွေ့ ( x နဲ့ အလျင် v ) တန်ဖိုးတွေပဲဖြစ်ပါတယ်။ အပေါ်မှာပြောခဲ့တဲ့အတိုင်း အလေးတုံးရဲ့လွှဲကျယ်(amplitude) က t=0 မှာရှိတဲ့ x နဲ့ v တို့ပေါ်မူတည်ပါတယ်။ Natural frequency ကိုချုပ်ကိုင်ထားတဲ့ spring constant နဲ့ mass ကိုမပြောင်းလဲသရွေ့ frequency နဲ့ အပေါ်အောက်တစ်ပတ်ပြည့်ဖို့ကြာချိန် (period) ကပြောင်းလဲမှာမဟုတ်ပါဘူး။ ဒီသဘောတရားကို LDE ညီမျှခြင်းကဘယ်လိုပြောပြနေလဲဆိုတာ လေ့လာဖို့ ညီမျှခြင်း(၁) ရဲ့ အဖြေတစ်ခုဖြစ်တဲ့ [latex] x=A \cos \omega_0 t ကိုကြည့်ပါ။ A က maximum amplitude ကိုပြတာဖြစ်ပြီး သူ့ရဲ့တန်ဖိုးက initial displacement x(0) ပေါ်မူတည်ပါတယ်။

အောက်မှာ harmonic oscillator ကိုသရုပ်ပြတဲ့ app တစ်ခုရှိပါတယ်။ mass, spring constant နဲ့ initial x တို့ကိုပြောင်းလဲပြီးစမ်းကြည့်ပါ။ လှုပ်ရှားစေဖို့ Run ကိုနှိပ်ပါ။ Geogebra applet credit : Harmonic oscillator

အောက်မှာ အလေးတုံးရဲ့ position ကို time အလိုက်နမူနာဂရပ်(အပြာရောင်) ဆွဲထားပါတယ်။ အပေါ်မှာရခဲ့တဲ့အဖြေအတိုင်း amplitude က A နဲ့ period က t_b ဖြစ်ပြီ: ဂရပ်က cosine function ပုံဖြစ်ပါတယ်။

ဒီဂရပ်က မူလအခြေအနေမှာ position A မှာရှိနေတဲ့ အလေးတုံးရဲ့ရွေ့လျားမှုပုံစံဖြစ်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ဒီ spring-mass စနစ်က အခန်းတစ်ခုထဲမှာရှိနေပြီး သင်ကအချိန် t_1 ကျမှအခန်းတံခါးကိုဖွင့်ကြည့်လိုက်တယ်ဆိုပါတော့။ သင့်ညီမျှခြင်းတွေအတွက် t_1 မှာရှိနေတဲ့ အလေးတုံးရဲ့ position နဲ့ velocity တွေက initial condition တွေဖြစ်နေပါမယ် (တစ်နည်း t_1 က သင့်အတွက် t_0 ဖြစ်နေပြီး time scale က t_1 ပမာဏရွေ့သွားပါတယ်)။ အနီရောင်ဂရပ်နဲ့ပြထားတဲ့ ဒီအခြေအနေအတွက် ညီမျှခြင်း(၁) ရဲ့ နောက်အဖြေတစ်ခုက x=A \cos \omega_0 (t-t_1) ဖြစ်ပါတယ်။ t_1 က ကိန်းသေဖြစ်တဲ့အတွက် \omega_0 t_1 ကို \Delta လို့ခေါ်မယ်ဆိုရင်−

\displaystyle x(t)=A \cos (\omega_0 t+\Delta) 

\displaystyle x(t)=A (\cos \omega_0 t \  \cos \Delta - \sin \omega_0 t \ \sin \Delta)

\displaystyle x(t)=A' \cos \omega_0 t+ B' \sin \omega_0 t

where \displaystyle A'=A \cos \Delta \text{ and } B'=B \cos \Delta A' နဲ့ B' က initial condition တွေကနေရှာရမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီအဖြေက ညီမျှခြင်း (၁)ရဲ့ ယေဘူကျအကျဆုံးအဖြေဖြစ်ပါတယ်။

 

 

 

Leave a Reply

Proudly powered by WordPress | Theme: Baskerville 2 by Anders Noren.

Up ↑

%d bloggers like this: