Ordinary Differential Equations − Part 2

6 July 2018

calculus ode differential equation oscillation

ကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းရှိသော ODE များ

အရှေ့မှာပြောခဲ့သလို ODE ရဲ့အဖြေကိုရှာဖို့နည်းလမ်းတစ်ခုက အဖြေကိုမှန်းဆပြီး differential equation ထဲထည့်တွက်ပြီးတော့ လိုချင်တဲ့ရလဒ်ရသလားဆိုတာကြည့်ဖို့ပါပဲ။ ဒီလိုမှန်းထည့်တဲ့နည်းလမ်းက ပရမ်းပတာနိုင်တယ်ထင်ရင် ODE ကိုဖြေရှင်းတဲ့ နည်းလမ်းအချို့ကို ရှာဖွေနိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် analytical နည်းလမ်းတွေကလည်း သူတို့ပုံစံနဲ့ကိုက်ညီတဲ့၊ တစ်နည်း အတန်ငယ်ရိုးရှင်းတဲ့ပုံစံတွေကိုပဲ ဖြေရှင်းနိုင်တာဖြစ်ပါတယ်။ အခုကျွန်တော်တို့နဲ့ ရင်းနှီးပြီ:သားပုံစံဖြစ်တဲ့ ကိန်းသေ x မြှောက်ဖော်ကိန်းပါတဲ့ ODE တွေကို လေ့လာမှာဖြစ်ပါတယ်။

အရှင်းဆုံးဥပမာတစ်ခုနဲ့စရအောင်။

\frac{dx}{dt}=a

ဒီ equation က x ရဲ့ time အလိုက်ပြောင်းလဲမှုက ကိန်းသေ a ဖြစ်တယ်လို့ဆိုပါတယ်။ ဒါက ကိန်းသေအလျင်နဲ့သွားနေတဲ့ ဝတ္ထုတစ်ခုရဲ့တည်နေရာကိုဖော်ပြတဲ့ equation ဖြစ်နိုင်သလို a နှုန်းနဲ့ ပုံမှန်ငွေသွင်းနေတဲ့ ဘဏ်အကောင့်ထဲက ငွေပမာဏလည်းဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ (ဘဏ်ထဲကို တစ်ပတ်မှတစ်ခါငွေသွင်းတယ်ဆိုရင် x တိုးနှုန်းက တိုးလိုက်၊ရပ်လိုက်ဖြစ်နေပါလိမ့်မယ်။ ဒါပေမယ့် တစ်ပတ်ထက်အများကြီ:ပိုကြီးတဲ့ကာလအတွက်တော့ ဒီ equation က လက်တွေ့နဲ့နီးစပ်ပါတယ်)။ ဘာပဲဖြစ်ဖြစ် ဒီ equation ကနေ x(t) ကိုရှာဖို့ အလွယ်တကူပဲ integrate လုပ်နိုင်ပါတယ်။

x(t)=at+c

c က integration constant ဖြစ်ပါတယ်။ Differetial equation က x ပြောင်းလဲနှုန်း (rate of change) ကိုပဲပြောတာဖြစ်လို့ အချိန်တစ်ခုမှာရှိတဲ့ x ရဲ့တန်ဖိုးကိုရှာဖို့ မလုံလောက်ပါဘူး။ ဥပမာ ကျွန်တော်က ဘဏ်ထဲကို တစ်ရက် ၁၀၀ ထည့်ရင် ၁၀ ရက်ကြာတဲ့အခါ ဘဏ်ထဲမှာဘယ်လောက်ရှိမလဲ။ ဒါကိုဖြေဖို့ စစချင်းမှာ ဘဏ်ထဲမှာဘယ်လောက်ရှိနေလဲဆိုတာကို သိရပါမယ်။ ဒီအချက်အလက်ကို မူလအခြေအနေ (initial condition) လို့ခေါ်ပါတယ်။ t=0 မှာရှိတဲ့ x(0) ကိုသိရင် အပေါ်က equation ထဲကိုထည့်ပြီးတော့ c ကိုရှာနိုင်ပါတယ်။

x(0)=a.0 + c

Initial condition က t=0 မှာသာသိနိုင်တာမဟုတ်ပါဘူး။ ဥပမာ t=3 မှာ x ဘယ်လောက်ရှိလဲဆိုတာသိရင်လဲ c ကိုရှာလို့ရပါတယ်။

x(3)=a.3+c

ဟုတ်ပြီ။ Second order differential equation အတွက်ရော။

\frac{d^2y}{dt^2}=g

ဒါဆို y ကိုရဖို့ နှစ်ခါ integrate လုပ်ရပါမယ်။

\frac{dy}{dt}=gt+v

y=\frac 12 gt^2 + vt + c

နောက်ဆုံးအဖြေမှာ integration ကြောင့်ဖြစ်တဲ့ကိန်းသေက နှစ်ခု (v, c) ဖြစ်သွားပါတယ်။ ဒီတော့ သူတို့ကိုရှာဖို့ မတူတဲ့ initial condition နှစ်ခုလိုပါတယ်။ ဒီဥပမာမှာ g ကို gravity ကြောင့်ဖြစ်တဲ့အရှိန်လို့မြင်နိုင်ပြီး y ကို အမြင့်တစ်နေရာကနေ အလွတ်ကျလာတဲ့ဝတ္ထုရဲ့ အမြင့်လို့မြင်နိုင်ပါတယ်။ ဒါဆို ဝတ္ထုရဲ့အမြင့် y(t) ကိုသိဖို့ ဥပမာ t=0 မှာရှိတဲ့ အမြင့် y(0) နဲ့ အလျင် $\dot y(0)$ ကိုသိရပါမယ်။

y(0)=c

\dot y(t)=gt+v

\dot y(0) = v

y(t) =\frac 12 gt^2 + \dot y(0)t + y(0)

ဒီဥပမာနှစ်ခုကိုကြည့်ရင် first order equation မှာ ကိန်းသေတစ်ခုလိုအပ်ပြီး second order equation မှာ ကိန်းသေနှစ်ခုလိုအပ်တာကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။ ဒီကိန်းသေတွေက initial condition တွေပေါ်မှာမူတည်ပြီး differential equation ကချုပ်ကိုင်ထားတာမဟုတ်တဲ့အတွက် free parameter တွေလို့ခေါ်ပါတယ်။

Free oscillation

Harmonic oscillator တစ်ခု (ဥပမာ စပရိန်မှာဆွဲထားတဲ့အလေးတုန်း၊ ကြိုးဆွဲထားတဲ့ချိန်သီး) ကို အရွေ့တစ်ခု (initial displacement) ပေးလိုက်ရင် ပြန်လှန်ရွေ့လျားမှု (oscillation) ဖြစ်ပြီး အချိန်အလိုက်ပြောင်းလဲတဲ့ ပြင်ပအားသက်ရောက်မှုမရှိရင် free oscillation လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဥပမာတစ်ခုအနေနဲ့ စပရိန်မှာဆွဲထားတဲ့အလေးတုန်းရဲ့ရွေ့လျားမှုကိုဖော်ပြတဲ့ differential equation ကိုကြည့်ရအောင်။ ဒီစနစ်မှာ အရေးပါတဲ့ကိန်းတွေဖြစ်တဲ့ mass, spring constant နဲ့ damping factor တို့ကိုပေါင်းစပ်ပြီး နယူတန်ဒုတိယနိယာမအရ force equation ကိုရေးပါမယ်။

F_{ext}=\sum F=ma

-kx-c \frac{dx}{dt}=m \frac{d^2x}{dt^2}

m \frac{d^2x}{dt^2}+c \frac{dx}{dt}+kx=0

နောက်ဆုံးညီမျှခြင်းက dependent variable $x$ နဲ့ independent variable $t$ တို့ရဲ့ second order linear ordinary differential equation ဖြစ်ပါတယ်။ $x$ တစ်ထပ်ကိန်းတွေနဲ့ပဲ ဖွဲ့စည်းထားတဲ့အတွက် homogeneous ODE လဲဖြစ်ပါတယ်။ ဒီညီမျှခြင်းကိုဖြေရှင်းဖို့ နည်းလမ်းတစ်ခုကတော့ $x=Ae^{\alpha t}$ ကိုအစားသွင်းကြည့်ဖို့ပါပဲ။ ဒါဆိုရင် x ကို differentiate လုပ်တိုင်း $\alpha$ နဲ့မြှောက်လိုက်ရုံပါပဲ။

mA\alpha^2e^{\alpha t}+cA \alpha e^{\alpha t}+kAe^{\alpha t}

Ae^{\alpha t}(m\alpha^2+c\alpha + k)

ဒီကိန်းကို 0 ဖြစ်နိုင်စေမယ့်အခြေအနေကိုရှာကြည့်ပါမယ်။ $e^{\alpha t}$ က 0 မဖြစ်နိုင်ပါဘူး။ A က 0 ဖြစ်မယ်ဆိုရင် x ကလည်း အမြဲတမ်း 0 ဖြစ်နေတဲ့အတွက်အလွန်ပျင်းစရာကောင်းပါတယ်။ ဒီတော့ ကွင်းထဲကကိန်းကို 0 ပေးကြည့်ပါမယ်။

m\alpha^2+c\alpha+k=0

ဒီညီမျှခြင်းမှာ ကိုယ်ပြောင်းလဲလို့ရတာ $\alpha$ တစ်ခုပဲရှိပါတယ်။ ဒီတော့ $\alpha$ တန်ဖိုးကိုရှာကြည့်ဖို့ quadratic formula လို့ခေါ်တဲ့ နှစ်ထပ်ကိန်းတန်းကိုဖြေရှင်းတဲ့ formula ကိုသုံးပါမယ်။

\alpha=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac'} }{2a}

where, $a=m, b=c, c'=k$

\alpha=\frac{-c\pm \sqrt{c^2-4mk}}{2m}

x=Ae^{(\frac{-c\pm \sqrt{c^2-4mk}}{2m})t}

ဒီအဖြေမှာ ပိုအသုံးများတဲ့သင်္ကေတတွေဖြစ်တဲ့ $c=2m\gamma$ နဲ့ $k=m\omega_0^2$ တို့ကိုထည့်လိုက်ပါမယ်။ ဒါဆိုရင်−

\alpha=-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2 }

နဲ့

x=Ae^{(-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t }

တို့ကိုရပါမယ်။

ဒီအဖြေက လက်တွေ့မှာ ဘာကိုပြောချင်တာလဲဆိုတာ နောက်တစ်ပိုင်းမှာဆက်ရေးသွားပါမယ်။

အခုဖြေရှင်းသွားတဲ့ differential equation ရဲ့အဖြေကိုကြိုမသိပဲ $x=Ae^{\alpha t}$ လို့ခန့်မှန်းချက်က ဘယ်ကနေဘယ်လိုရတာလဲလို့မေးနိုင်ပါတယ်။ အရှင်းဆုံးပြောရရင်တော့ $e^\alpha$ ကို differentiate လုပ်ရင် သူပဲပြန်ရတဲ့အတွက် differential equation ကို ရိုးရိုးပေါင်းနှုတ်မြှောက်စားလုပ်လို့ရတဲ့ algebraic equation ပုံစံပြောင်းပြီး $\alpha$ ကိုရှာတာဖြစ်ပါတယ်။ Linear homogeneous ODE တစ်ခုမြင်တိုင်း ဒီလို exponential form ကိုအစားသွင်းပြီးအဖြေတစ်ခုရှာလို့ရတာကို တွေ့ရပါတယ်။

Do not conform to the pattern of this world, but be transformed by the renewing of your mind.

Interpreter of maladies