အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ (Infinite Series)

Series ဆိုတာအပိုင်း(term) တွေပေါင်းထားတဲ့ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုပဲဖြစ်ပါတယ်။ သင်္ချာပုံစံနဲ့ချုံ့ရေးရင်-

\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^N a_n

လို့ရေးပါတယ်။ a_n ဆိုတာ n ကြိမ်မြောက်ကိန်း(term) ပဲဖြစ်ပါတယ်။ n တစ်ခုအတွက် ကိန်းတစ်ခုကိုထုတ်ပေးတဲ့ formula ကိုပေးထားတယ်လို့ယူဆရပါမယ်။ ဥပမာ a_n=\frac{1}{n^2+1} ဆိုသလိုမျိုးပေါ့။ တစ်ခါတစ်ရံမှာ n က 1 ကနေလဲ စတတ်ပါတယ် (ဥပမာ a_n=\frac{1}{n^2} )။

\left| S-S_N \right| < \varepsilon  ,\ \text{for} \  N>N(\varepsilon)

အနန္တကိန်းစဉ်တစ်ခုပေါင်းလဒ်က ဘာလို့အနန္တတန်ဖိုးမရနိုင်တာလဲဆိုတာ ဥပမာတစ်ခုပေးကြည့်ပါမယ်။ သင့်အိမ်မှာ ပါတီလုပ်ဖို့ သူငယ်ချင်းအယောက်အနန္တကို ခေါ်ထားတယ်ဆိုပါတော့။ သင့်ဆီမှာ ပီဇာနှစ်ခုပဲရှိပြီး လာသမျှလူအကုန်လုံးကို ကျွေးရမယ်။ ဒါဆိုသင်နည်းလမ်းတစ်ခုကိုသုံးမယ်။ ဒါကတော့ ဧည့်သည်တွေကို တစ်ယောက်ချင်းဝင်ခိုင်းပြီး နောက်လာတဲ့သူက လက်ရှိကျန်တဲ့ပီဇာရဲ့ တစ်ဝက်ကိုရမယ်။ ဒါဆို ပထမဆုံးလူက ပီဇာတစ်ချပ်၊ ဒုတိယလူက ပီဇာတစ်ဝက်၊ တတိယလူက လေးပုံတစ်ပုံ၊ နောက်လူက ရှစ်ပုံတစ်ပုံ၊ စသဖြင့်ရမယ်။ ပီဇာစုစုပေါင်းကို S လို့ထားရင်−

\displaystyle S=1+\frac 12+\frac 14+\frac 18+...

\displaystyle S=\sum_0^\infty 2^{-n}

ဒါပေမယ့် ပီဇာစုစုပေါင်းကအစတည်းက နှစ်ခုပဲရှိတဲ့အတွက် S က 2 ကိုမကျော်နိုင်ပါဘူး။ နောက်ပြီး \infty အထိမပေါင်းပဲ term အရေအတွက် N မှာရပ်လိုက်ရင်လည်း 2 ထက်နည်းတဲ့တန်ဖိုးကိုရမှာပါ။ N ကိုအများကြီးယူခြင်းအားဖြင့် N ကြိမ်အထိ term တွေပေါင်းလဒ်နဲ့ 2 ကြားကခြားနားချက်ကို နည်းနိုင်သမျှနည်းအောင်လုပ်လို့ရပါတယ်။ ဒါကိုပေါင်းလဒ်က 2 ရဲ့ limit ကိုချဉ်းကပ်သွားတယ် (converge ဖြစ်တယ်) လို့ပြောပါတယ်။ ဆိုလိုတာက \varepsilon ကိုဘယ်လောက်ပဲသေးအောင်ယူယူ ခြားနားချက်−

\displaystyle S-S_N=\sum_0^\infty 2^{-n} - \sum_0^N 2^{-n}

ရဲ့ တန်ဖိုးက \varepsilon ထက်နည်းနေဦးမှာပါ။

ဒီ S series ကို geometric series လို့ခေါ်တဲ့ နောက် term နဲ့ ရှေ့ term ကိန်းသေအချိုး (r) ရှိတဲ့ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုနဲ့ ဖော်ပြနိုင်ပါတယ်။ သဘောကတော့−

\displaystyle S_N=1+r+r^2+r^3+...+r^N

အပေါ်က ပီဇာအတွက် ကိန်းစဉ်တန်းဆိုရင် r=\frac 12 ဖြစ်ပါမယ်။ S ကို r နဲ့မြှောက်ရင်-

\displaystyle rS_N=r+r^2+r^3+r^4+...+r^{N+1}

S_N ထဲက rS_N ကိုနှုတ်ရင်−

\displaystyle S_N(1-r)=1-r^{N+1}

\displaystyle S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}

\displaystyle S_N=\frac{1}{1-r}-\frac{r^{N+1}}{1-r}

အပေါ်ကညီမျှခြင်းကိုကြည့်ရင် ပထမ term \frac{1}{1-r} က ratio r=\frac 12 ပေါ်မှသာမူတည်ပြီး ဒုတိယ term \frac{r^{N+1}}{1-r} ကတော့ term အရေအတွက် N ပေါ်မှာလည်းမူတည်တာတွေ့ရပါတယ်။ ဒါကြောင့် r<1 ဖြစ်ပြီ: N က \infty ကိုချဉ်းကပ်သွားရင် S က 2 ကိုချဉ်းကပ်သွားတာကို သိသိသာသာတွေ့နိုင်ပါတယ်။

ဒီပီဇာဥပမာကိုကြည့်ပြီ: ဆက်တိုက်နည်းသွားတဲ့ကိန်းတွေကို အနန္တပေါင်းလဒ်က converge ဖြစ်တယ်လို့ပြောလို့မရပါဘူး။ ကိန်းစဉ်တန်းတွေတိုင်းကိုလည်း geometric series ပုံစံနဲ့ဖော်ပြလို့မရနိုင်ပါဘူး။ အနန္တကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုပေါင်းလဒ်က converge ဖြစ်သလားဆိုတာကို စစ်ဆေးတဲ့နည်းလမ်းတွေကို convergence test တွေလို့ခေါ်ပါတယ်။ အခု convergence test တစ်ချို့ကို လေ့လာကြည့်ရအောင်။ ဒီ test တွေအတွက် နမူနာအနေနဲ့ ယေဘူယျအကျဆုံး series ပုံစံဖြစ်တဲ့

\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^N a_n

ကိုကြည့်ပါ။ ဒီ series ရဲ့ a_n တွေက အပေါင်းကိန်းတွေဖြစ်ပြီး n တိုးလာတာနဲ့အမျှ a_n ကနည်းသွားတယ်လို့ ယူဆပါမယ်။

Comparison Test

ပထမနည်းလမ်းကတော့ series နောက်တစ်ခုနဲ့ နှိုင်းယှဉ်ကြည့်တာပါ။ b_n term တွေပါဝင်တဲ့ infinite series တစ်ခုက converge ဖြစ်တယ်ဆိုရင် a_n \leqslant b_n (n အကုန်လုံးအတွက်) ဖြစ်ခဲ့ရင် a_n term တွေနဲ့ ဖွဲ့စည်းထားတဲ့ ကိုယ့် infinite series ကလည်း converge ဖြစ်ပါတယ်တဲ့။ ဘာကြောင့်လဲဆိုတာတော့ ရှင်းပါတယ်။ Converge ဖြစ်တဲ့ series ရဲ့ term တွေအကုန်လုံးထက် ကိုယ့် series ရဲ့ term တွေတန်ဖိုးကနည်းနေရင် ပိုပြီးတော့ converge ဖြစ်နိုင်တာပေါ့။ တစ်ခုရှိတာက a_n ကရှေ့ပိုင်း term တွေမှာ b_n ထက်ကြီးနေရင်တောင်မှ ကြီးနေတဲ့ term တွေပေါင်းလဒ်ကို 0 လို့ထားပြီ: နောက်ပိုင်း term တွေပေါင်းလဒ်က converge ဖြစ်တယ်ဆိုရင် a_n>b_n term တွေပေါင်းလဒ်က finite ဖြစ်တာကြောင့် စုစုပေါင်း ပေါင်းလဒ်ကလည်း finite ဖြစ်တဲ့အတွက် series က converge ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် convergence test က finite term တွေရဲ့ ပေါင်းလဒ်ကို စစ်တာမဟုတ်ပဲ N \to \infty ဖြစ်တဲ့အခါမှာ converge ဖြစ်သလားဆိုတာသာ စစ်တာဖြစ်ပါတယ်။

ပြောင်းပြန်အနေနဲ့ a_n \geqslant b_n \text{(for all n)} ဖြစ်ပြီ:  b_n series က diverge ဖြစ်ရင် (converge မဖြစ်ရင်) a_n series ကလည်း diverge ဖြစ်ပါတယ်။

ဥပမာတစ်ခုအနေနဲ့ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}  ကိုအကျယ်ဖြန့်လိုက်ရင်−

\displaystyle 1+\frac 14+\frac 19 + \frac {1}{16}+...+ \frac {1}{49}+ \frac {1}{64}+...+ \frac {1}{15^2}+...

အဲ့တာကို သူ့ထက်ပိုကြီးတဲ့ အောက်က series နဲ့ နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ပါ။

\displaystyle 1+2*\frac 12+4*\frac {1}{16}+8*\frac{1}{64}+...=1+1+\frac 12+\frac 14+\frac 18+...

ဒီ geometric series က converge ဖြစ်တဲ့အတွက် term တွေအကုန်လုံးသူ့ထက်ငယ်တဲ့ မူလ series ကလည်း converge ဖြစ်ပါတယ်။

Ratio test

အောက်က(မ)ညီမျှခြင်းကိုလိုက်နာရင် series က converge ဖြစ်ပါတယ်။

\displaystyle r=\lim _{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1

ဒီ test ရဲ့ သဘောတရားကတော့ n က \infty ကိုချဉ်းကပ်ခိုင်းပြီး series ရဲ့ နောက်ပိုင်း term တွေကို geometric series အနေနဲ့ယူဆလိုက်တာဖြစ်ပါတယ်။ ရှေ့ပိုင်း term တွေပေါင်းလဒ်ကတော့ finite ဖြစ်တဲ့အတွက် n \to \infty မှာ r < 1 ဖြစ်တယ်ဆိုရင် series က converge ဖြစ်ပါတယ်။ မဟုတ်ရင်တော့ diverge ဖြစ်ပါတယ်။ r=1 ဆိုရင်တော့ အတိအကျပြောဖို့ခက်ပါတယ်။

ဥပမာ ၂.

\displaystyle S =\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}

ဒီပုစ္ဆာမှာ a_n=\frac{n}{3^n} ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီတော့ a_{n+1}=\frac{n+1}{3^{n+1}} 

\displaystyle r=\lim _{n \to \infty} \frac{n+1}{3n}=\frac 13

နောက်ဆုံးရလဒ်က L’hospital Rule ကိုအသုံးပြုထားတာဖြစ်ပါတယ်။ r က 1 ထက်ငယ်တဲ့အတွက် ဒီ series က converge ဖြစ်ပါတယ်။

ဥပမာ ၃.

\displaystyle r=\lim _{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1

r က 1 ဖြစ်တဲ့အတွက် ratio test ကိုသုံးပြီ: convergence ကိုစစ်လို့မရပါဘူး။

Integral test

ပုံကိုကြည့်ရင် ထောင့်မှန်စတုဂံဧရိယာက curve အောက်ကဧရိယာထက် နည်းနည်းကြီးနေတာတွေ့ရပါတယ်။ ဒါပေမယ့် n=1 နဲ့ 2 ကြား၊ ရှေ့ဆုံးကထောင့်မှန်စတုဂံတစ်ခုကိုဖျောက်ပြီး နောက်ကထောင့်မှန်စတုဂံတွေကို ရှေ့တစ်ယူနစ်စီတိုးကြည့်ပါ။ ဒါဆိုရင် ထောင့်မှန်စတုဂံဧရိယာတွေက curve အောက်ကဧရိယာထက်ပိုနည်းသွားပါလိမ့်မယ်။ ပထမဆုံးစတုဂံဧရိယာက finite တန်ဖိုးဖြစ်တဲ့အတွက် series ရဲ့ converge/diverge ဖြစ်ခြင်းကို မထိခိုက်စေနိုင်ပါဘူး။

ဥပမာ ၄.

\displaystyle \int ^L \frac 1x dx \to \infty \ \text{as L} \  \to \infty

ဒါကြောင့် \sum_{n=1}^\infty \frac 1n က diverge ဖြစ်ပါတယ်။

ဥပမာ ၅.

\displaystyle \int ^L \frac {1}{x^2} dx \approx \frac 1L \ \text{as} \  L \to \infty

ဒါကြောင့် \sum_{n=1}^\infty \frac 1n က diverge ဖြစ်ပါတယ်။

Power series

အပေါ်က series တွေမှာပါတဲ့ term a_n တွေက n ပေါ်မှာသာ မူတည်ခဲ့ပါတယ်။ အခု variable x ကိုထည့်ပြီး ပီဇာဥပမာလိုမျိုး power series တွေကိုလေ့လာကြည့်ပါမယ်။ Power series ရဲ့ ပုံစံကတော့−

\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

အရှေ့ကပြောခဲ့တဲ့ series တွေက x=1 နဲ့ဖွဲ့စည်းထားတယ်လို့ယူဆနိုင်ပါတယ်။ ဒီနေရာမှာတော့ x တန်ဖိုးကိုမူတည်ပြီ:တော့ series က converge/diverge ကွဲပြားသွားနိုင်ပါတယ်။ ဒီတော့ ပီဇာဥပမာမှာလိုပဲ နောက် term နဲ့ ရှေ့ term ရဲ့ ratio ကိုရှာကြည့်ပါမယ်။

\displaystyle r(x)=\lim _{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x_n} \right|

\displaystyle r(x)=|x| \lim _{n\to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \equiv |x| \ r   r(x) က 1 ထက်ငယ်ရင် series က converge ဖြစ်ပါလိမ့်မယ်။

\displaystyle r(x)=|x|r < 1

\displaystyle |x|<\frac 1r

\displaystyle |x|<\lim _{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|=R

R ကို interval of convergence လို့ခေါ်ပြီး -R<x<R ကြားမှာ series က converge ဖြစ်တယ်လို့ ဆိုလိုပါတယ်။

ဥပမာ ၆.

Exponential series အတွက် power series ကိုကြည့်ပါ။

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

သူ့ရဲ့ interval of converge ကိုရှာကြည့်ရအောင်။

\displaystyle R=\lim _{n \to infty} \left| \frac{(n+1)!}{n!} \right| = \lim _{n \to \infty} n+1=\infty

ဖြစ်တဲ့အတွက် x က -\infty နဲ့  +\infty ကြား၊ တစ်နည်းအားဖြင့် x တန်ဖိုးအကုန်လုံးအတွက် converge ဖြစ်ပါတယ်။ sin, cos လိုမျိုး trigonometric function တွေနဲ့  sinh, cosh လိုမျိုး hyperbolic function တွေအတွက်လည်း အလားတူပါပဲ။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ အဲ့ဒီ့ function တွေကိုလည်း exponential function ကိုပေါင်းစပ်ပြီး ဖော်ပြနိုင်လို့ပဲဖြစ်ပါတယ်။

ဥပမာ ၇.

\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...

ဒီ series အတွက် R=1  ဖြစ်တဲ့အတွက် |x|<1 ဖြစ်မှသာ series က converge ဖြစ်မှာဖြစ်ပါတယ်။ x>1 မှာ function တန်ဖိုးတွေရှိပေမယ့် ဒီ series နဲ့ဖော်ပြလို့မရနိုင်ပါဘူး။

Convergent infinite series တွေရဲ့ ဂုဏ်သတ္တိတွေကို ဆက်လက်ဖော်ပြသွားမှာဖြစ်ပါတယ်။

Related post : Taylor series

Heavily referenced from Basic Training in Mathematics by R. Shankar

"Everything that can be counted does not necessarily count; everything that counts cannot necessarily be counted." — Albert Einstein