အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ (Part 2)

18 March 2018

Function များအား series ဖြင့်ဖော်ပြခြင်း (Series representation of functions)

$e^x$ ရဲ့ series expansion ကို အရင်က Taylor series နဲ့တွက်ခဲ့ပါတယ်။ အဖြေကတော့−

e^x=\sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}

Sine နဲ့ cosine function တွေအတွက်လဲ series expansion ကိုရှာကြည့်ရအောင်။ $\text x_o=0$ မှာအကျယ်ဖြန့်ထားတဲ့ Taylor series expansion အရ-

\begin{aligned} \sin x &=\sin 0+x\cos 0-\frac {x^2}{2!}\sin 0-\frac{x^3}{3!}\cos0+\frac{x^4}{4!}\sin 0+... \\ &=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... \\ &=\sum_0^\infty \frac{(-1)^nx^{(2n+1)}}{(2n+1)!} \end{aligned}

အလားတူပဲ $\cos x$ အတွက်လည်း−

\begin{aligned} \cos x &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+... \\ &=\sum_0^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}

Function နှစ်ခု၏ကိုယ်စားပြု series နှစ်ခုအား နှိုင်းယှဉ်ခြင်း (Series representation of two functions)

Function $f(x)$ ကို အကျယ်ဖြန့်ထားတဲ့ series တစ်ခုရှိတယ်ဆိုပါတော့။ အဲ့ဒီ့ series ရဲ့ interval of convergence တစ်ခုရှိမယ်။ တကယ်လို့ နောက် function တစ်ခု $g(x)$ က $f(x)$ နဲ့တူရင် သူတို့နှစ်ခုရဲ့ series တွေကလည်းတူညီပါတယ်။ ဥပမာ $f(x)=\sin 2x, g(x) = 2 \sin x \cos x$ ဆိုရင် $f(x)$ နဲ့ $g(x)$ တို့ရဲ့ series တွေက တူညီပါလိမ့်မယ်။ ယေဘူယျပြောရရင်တော့−

$f(x)= \sum_0^\infty a_n x^n$ ရယ်

$g(x) = \sum_0^\infty b_n x^n$ ဖြစ်ပြီး

$f(x) = g(x)$ ဖြစ်တယ်ဆိုရင်

$a_n = b_n$ ဖြစ်ပါတယ်။

ယေဘူယျအနေနဲ့တော့ ပေါင်းလဒ်တူတာနဲ့ အထဲကပေါင်းကိန်းတွေ အသီးသီးတူတယ်လို့ပြောလို့မရပါဘူး။ $6+2=5+3$ လိုမျိုးပေါ့။ ဒါပေမယ့် $f(x)$ နဲ့ $g(x)$ ကိုကိုယ်စားပြုတဲ့ series နှစ်ခုရဲ့ interval of convergence ကလဲအတူတူဖြစ်တဲ့အပြင် interval of convergence အတွင်းမှာရှိတဲ့အမှတ်တိုင်းမှာ တူညီပါတယ်။ ဥပမာ $-1<x<1$ အတွက် $x=0.5$ မှာ $\sum_0^\infty a_n x^n = \sum_0^\infty b_n x^n$ ဖြစ်ပြီး $x=0.01$ မှာလည်း $\sum_0^\infty a_n x^n = \sum_0^\infty b_n x^n$ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီလိုတူညီတဲ့အမှတ်တွေက interval of convergence အတွင်းမှာ အနန္တရှိတဲ့အတွက် series နှစ်ခုရဲ့ term တွေကလည်း တူညီရပါမယ်။

နောက်တစ်နည်းစဉ်းစားရင် Taylor series အရ function နှစ်ခုကအမှတ်တိုင်းမှာတန်ဖိုးတူညီဖို့အတွက် rate of change တွေလဲတူရပါမယ်။ Rate of change တွေတူရင် series နှစ်ခုကလည်း တူပါတယ်။

a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}, \ b_n=\frac{g^{(n)}(x_0)}{n!} \\ f^{(n)}(x_0)=g^{(n)}(x_0) \\ \therefore a_n=b_n

Function အား အနီးစပ်ဆုံးဖော်ပြခြင်း (Function approximation)

Function တစ်ခုကိုယ်စားပြု infinite series တစ်ခုကို finite term အရေအတွက် $N$ မှာ ဖြတ်ချလိုက်ရင် Nth order expansion လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဥပမာ $x^5$ မှာဖြတ်ချလိုက်ရင် 5th order အထိ expand လုပ်တယ်လို့ပြောမှာပေါ့။ $\sin x$ ကို 3rd order အထိ expand လုပ်ရင် $x-\frac{x^3}{6}$ ရပါတယ်။ Finite term တွေပေါင်းလဒ်က function တန်ဖိုးကို အနီးစပ်ဆုံးပဲရမှာဖြစ်တဲ့အတွက် order ဘယ်လောက်မှာဖြတ်ချရမလဲဆိုတာတော့ လိုချင်တဲ့တိကျမှုပေါ်မှာမူတည်ပါတယ်။

အပေါ်က $x^2$ order အထိအသုံးချမယ်ဆိုရင်−

\sin x = x \\ \cos x= 1-\frac{x^2}{2!} \\ \sin^2 x+\cos^2 x = x^2+1-x^2+\text{higher order terms}

$(1-x^2)^2$ ကနေထွက်လာတဲ့ $x^4$ term က higher order term ထဲမှာပါသွားပြီမို့လို့ $\sin^2 x+ \cos^2 x$ က $1$ ရတာကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။

ပိုပြီးရှုပ်ထွေးတဲ့ထပ်ကိန်းတွေနဲ့ဖွဲ့စည်းထားတဲ့ ကိန်းစဉ်တွေမှာဆိုရင် (ဥပမာ $\frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(x-3)^3}{3}+\frac{(x-4)^4}{4}+...$ ) တော့ x-order တွေက term တွေတိုင်းမှာ ရောနှောပါဝင်နေတဲ့အတွက် order နဲ့ဖြတ်ချဖို့ ခက်ခဲပါတယ်။

Function ၏ derivative/integral အား series ဖြင့်ရှာခြင်း

Function ရဲ့ derivative က သူ့ရဲ့ series ကို term by term ရှိတ်တာနဲ့အတူတူပါပဲ။ ဥပမာ $\ln(1+x)$ ကို ရှိတ်ချင်တယ်ဆိုပါတော့။ ဒါဆိုသူ့ရဲ့ series representation က−

\ln(1+x)=x- \frac {x^2}{2}+\frac {x^3}{3}+...

ဒီ series က $|x|<1$ အတွက် converge ဖြစ်ပါတယ်။ နှစ်ဖက်စလုံးကို တစ်ခါရှိတ်လိုက်ရင်−

\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...

ညာဘက်ခြမ်းက series က $\frac {1}{1+x}$ အတွက် series ဖြစ်တဲ့အတွက် ရလဒ်ကမှန်ကန်ပါတယ်။ ဒီညီမျှခြင်းကို integrate လုပ်ပြီးတော့လည်း မူလ function ကိုပြန်ရနိုင်ပါတယ်။

ရူပဗေဒမှဥပမာတစ်ခု

နောက်ဆုံးဥပမာတစ်ခုအနေနဲ့ စက်ဝိုင်းပုံသံပြားနှစ်ခုနဲ့လုပ်ထားတဲ့ လျှပ်သို (capacitor) ကငုတ်နှစ်ခုကို alternating current (AC) လျှပ်စစ်ပေးလိုက်ရင် သံပြားနှစ်ခုကြားမှာ လျှပ်စစ်စက်ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပေါ်လာပါတယ်။ ဒီလျှပ်စစ်စက်ကွင်းက ဆလင်ဒါပုံ geometry အလိုက်ခေါက်ချိုးညီတဲ့အတွက် သံပြားရဲ့ဗဟိုကနေအကွာအဝေး (အချင်းဝက်) ပေါ်မူတည်ပြီးပြောင်းလဲပါတယ်။ ဒီလျှပ်စစ်စက်ကွင်း $\vec{E}$ ကို ကိုယ်စားပြုတဲ့ညီမျှခြင်းက−

\vec{E} = E_0 e^{i\omega t}\left[ 1-\frac{1}{(1!)^2}\left( \frac{\omega r}{2c}\right) ^2+\frac{1}{(2!)^2}\left( \frac{\omega r}{2c}\right) ^4+\frac{1}{(3!)^2}\left( \frac{\omega r}{2c}\right) ^6+... \right]

J_o(x)=\left[ 1-\frac{1}{(1!)^2}\left( \frac{\omega r}{2c}\right) ^2+\frac{1}{(2!)^2}\left( \frac{\omega r}{2c}\right) ^4+\frac{1}{(3!)^2}\left( \frac{\omega r}{2c}\right) ^6+... \right]

$r$ က ဗဟိုကနေအကွာအဝေးဖြစ်ပြီး $\omega$ က AC လျှပ်စစ်ရဲ့ကြိမ်နှုန်းဖြစ်ပါတယ်။ $J_o(x)$ ကို Bessel function (first kind) လို့ခေါ်ပြီ: cylindrical wave တွေတွက်တဲ့အခါမှာ အသုံးပြုလေ့ရှိပါတယ်။

Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svgby Inductiveload - Own work, made with Inkscape, Public Domain