ဂျီသြမေတြီ − Part 2

3 September 2018

ယူကလစ်ဂျီသြမေတြီရဲ့ axiom ၅ က သီးသန့်တည်ရှိနေဖို့တကယ်ရောလိုအပ်သလား။ ပြောရရင် တြိဂံတစ်ခုအတွင်းက ထောင့်အားလုံးပေါင်းလဒ်က ၁၈၀ ဒီဂရီဖြစ်ခြင်း၊မဖြစ်ခြင်းက ပြိုင်မျဉ်းနှစ်ကြောင်း စကြာဝဋ္ဌာရဲ့အစွန်းမှာ ဆုံလား၊ မဆုံဘူးလားဆိုတာပေါ် မှီခိုနေတယ်ဆိုတာ မထူးဆန်းဘူလား။ ၁၉ ရာစုမတိုင်ခင် သင်္ချာပညာရှင်တွေက axiom ၅ ကိုသူ့ရှေ့က axiom ၄ ခုကိုအသုံးပြုပြီးဖော်ပြဖို့ကြိုးစားခဲ့ပါတယ်။ ဒီလိုသာဖော်ပြနိုင်မယ်ဆိုရင် ပြိုင်မျဉ်းနှစ်ကြောင်းအနန္တမှာဆုံ၊မဆုံကို ငြင်းခုန်စရာမလိုတော့ပဲ ပိုပြီးရှင်းလင်းတဲ့ axiom ၄ ခုကိုသာအသုံးပြုရမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီတော့ နောက်ဆုံး axiom ကိုတစ်ခြားနည်းတွေနဲ့ ဘယ်လိုဖော်ပြနိုင်မလဲဆိုတာ ကြည့်ရအောင်။

မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်း L နဲ့ပြိုင်ပြီး အမှတ် x ကိုဖြတ်သောမျဉ်းကိုရရှိရန် L ၏ဦးတည်ရာအတိုင်း x ကိုဖြတ်၍ မျဉ်းဆွဲနိုင်သည်။

L နှင့်အမှတ် x ဝေးကွာသောအကွာအဝေးအတိုင်း အမှတ်များကိုဆွဲပြီး ထိုအမှတ်များကိုဆက်လိုက်ပါက မျဉ်းပြိုင် M ကိုရမည်။

အပေါ်ကဖွင့်ဆိုချက်နှစ်ခုက မျဉ်းပြိုင်ရအောင်ဘယ်လိုလုပ်မလဲဆိုတာကို ပြောပါတယ်။ ဒါပေမယ့်သူတို့က မျဉ်းပြိုင်ဖြစ်တာကိုပဲပြောပြပြီး တစ်ကြောင်းတည်းသာရှိတယ်ဆိုတာမပါသေးပါဘူး။ Cartesian coordinate မှာဆိုရင်မျဉ်းတစ်ကြောင်းရဲ့ညီမျှခြင်းကို $y=mx+c$ နဲ့ဖော်ပြနိုင်ပါတယ်။ $m$ က slope ဖြစ်တဲ့အတွက် ပြိုင်မျဉ်းနှစ်ကြောင်းဆိုရင် slope တူရပါမယ်။ ဒီ​တော့ $c$ ကိုအပြောင်းအလဲလုပ်ပြီး လိုချင်တဲ့အမှတ် P ကိုဖြတ်တဲ့ ပြိုင်မျဉ်းကိုရှာနိုင်ပါတယ်။ $c$ တန်ဖိုးတစ်ခုအတွက် မျဉ်းတစ်ကြောင်းပဲရှိတာကြောင့် အမှတ် P ကိုဖြတ်တဲ့ပြိုင်မျဉ်းကလည်း တစ်ကြောင်းပဲရှိနိုင်ပါတယ်။

အပေါ်ကဖွင့်ဆိုချက်တွေကိုသာသုံးရင် axiom 5 ဖြစ်တဲ့မျဉ်းပြိုင်အဆိုကို တိုက်ရိုက်သုံးစရာမလိုတော့ပါဘူး။ ဒါပေမယ့် ဒီဖွင့်ဆိုချက်တွေကို တစ်ခြား axiom တွေကနေတကယ်ပဲ သက်သေပြနိုင်ရဲ့လား။ တကယ်တော့ဒီဖွင့်ဆိုချက်တွေနောက်မှာ မသိသာတဲ့ယူဆချက် (assumption) တွေရှိနေပါတယ်။ ဒီယူဆချက်တွေက အမြဲတမ်းမမှန်ဘူးဆိုတာသိသာအောင် မျဉ်းပြိုင်အဆိုမမှန်တော့တဲ့ အခြေအနေမှာဖော်ထုတ်နိုင်ပါတယ်။

စက်လုံးဂျီသြမေတြီ

စက်လုံးဂျီသြမေတြီဆိုတာ နာမည်အတိုင်းပဲ လုံးဝန်းတဲ့မျက်နှာပြင်ပေါ်မှာတည်ဆောက်ထားတဲ့ ဂျီသြမေတြီဖြစ်ပါတယ်။ ကျွန်တော်တို့နေထိုင်ရာကမ္ဘာမြေကြီးကလည်း အနည်းနဲ့အများစက်လုံးပုံရှိတဲ့အတွက် အရွယ်အစားသိသိသာသာကြီးတဲ့ တံတားတွေ၊ လမ်းတွေဆိုရင် စက်လုံးဂျီသြမေတြီကိုသုံးရပါလိမ့်မယ်။ ယူကလစ်ရဲ့ axiom တွေကရောစက်လုံးဂျီသြမေတြီမှာဆို ဘယ်လိုဖြစ်မလဲကြည့်ရအောင်။

အရင်ဆုံးမျဉ်းဖြောင့်၊ မျဉ်းပြတ်ဆိုတာကို စက်လုံးပေါ်မှာဘယ်လိုဆွဲမလဲဆိုတာ စမေးရပါမယ်။ ပြင်ညီပေါ်မှာတော့ မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်းဆွဲရတာ ပြဿနာမရှိပေမယ့် စက်လုံးပေါ်မှာဘယ်မျဉ်းဖြောင့်မဆို ကွေးမနေဘူးလား။ ဒီကိစ္စကိုဖြေရှင်းဖို့နည်းလမ်းကတော့ သင်္ချာမှာအမြဲလိုလိုသုံးတဲ့ generalization နည်းလမ်းပဲဖြစ်ပါတယ်။ ဆိုလိုတာက မျဉ်းဖြောင့်ကို ပြင်ညီပေါ်မှာရောစက်လုံးပေါ်မှာရော အကျုံးဝင်တဲ့အဓိပ္ပာယ်တစ်ခုနဲ့ဖွင့်ဆိုပါမယ်။ အမှတ် A နဲ့ B ကိုမျဉ်းပြတ် L နဲ့ဆက်သွယ်ထားတယ်ဆိုပါတော့။ မျဉ်းပြတ်ကိုတစ်ဖြောင့်တည်းရှိတဲ့မျဉ်းလို့မဖွင့်ဆိုပဲ အမှတ်နှစ်ခုကို အတိုဆုံးဆက်နိုင်တဲ့မျဉ်းလို့ဖွင့်ဆိုမယ်ဆိုရင် ပြင်ညီမှာရော၊ စက်လုံးမှာရောအဆင်ပြေမယ်။ ဒါပေမယ့်စက်လုံးမှာအမှတ်နှစ်ခုကိုအတိုဆုံးဆက်နိုင်တဲ့မျဉ်းက တစ်ကြောင်းတည်းရှိတာဟုတ်ရဲ့လား။ အဖြေကတော့ ဟုတ်ပါတယ်။ စက်လုံးမျက်နှာပြင်ပေါ်မှာ အမှတ်နှစ်ခုကိုအတိုဆုံးဆက်နိုင်တဲ့မျဉ်းက စက်လုံးဗဟိုကိုဗဟိုထားပြီ:ဆွဲထားတဲ့စက်ဝန်း (great circle လို့ခေါ်ပါတယ်) တစ်လျှောက်ပဲဖြစ်ပါတယ်။ ကမ္ဘာလုံးပေါ်မှာ မြို့နှစ်မြို့ကိုအတိုဆုံးခရီးနဲ့သွားချင်တယ်ဆိုရင် ဒီစက်ဝန်းတစ်လျှောက်သွားပါ။ တစ်ခြားလမ်းကြောင်းတွေက သူ့ထက်ပိုရှည်ပါလိမ့်မယ်။

ဒါဆိုအဆုံးအစမရှိတဲ့ မျဉ်းဖြောင့်ကရော။ စက်လုံးပေါ်ကမျဉ်းပြတ်ကိုဆက်ဆွဲလိုက်ရင် စက်လုံးတစ်ပတ်ပြည့်သွားရုံပဲဖြစ်မှာပါ။ အဆုံးအစကတော့မရှိပါဘူး။ ဟုတ်ပြီ။ ဒါဆိုစက်လုံးပေါ်မှာဆွဲထားတဲ့မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်းကို ပြိုင်တဲ့မျဉ်းက အမှတ်တစ်ခုအတွက် တစ်ကြောင်းပဲရှိမယ်ဆိုတာ မှန်သလား။ ဥပမာကမ္ဘာ့အီကွေတာမျဉ်းအပေါ်ကို မိုင် ၁၀၀ ဝေးတဲ့အမှတ်တွေကိုဆက်လိုက်ရင် အီကွေတာနဲ့ပြိုင်တယ်လို့ထင်ရတယ့်မျဉ်း (စက်ဝိုင်း)တစ်ကြောင်းကိုရပါတယ်။ ဒါပေမယ့်အဲ့ဒီ့မျဉ်းက လက်တီကျုကိန်းသေမျဉ်းသာဖြစ်ပြီး great circle တစ်ခုမဟုတ်တဲ့အတွက် စောစောကသတ်မှတ်ထားတဲ့မျဉ်းဖြောင့်ဖွင့်ဆိုချက်နဲ့ မကိုက်ညီပါဘူး။

Cartesian coordinate ကိုအသုံးချထားတဲ့သက်သေပြချက်ကလဲ ဟင်းလင်းပြင်ကို Cartesian coordinate နဲ့ဖော်ပြလို့ရတယ်လို့ယူဆထားတာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီယူဆချက်က စက်လုံးဂျီသြမေတြီမှာ မမှန်တော့ပါဘူး။

ဘာလို့ဒီလိုမျိုး မျဉ်းပြိုင်အဆိုကို စက်လုံးဂျီသြမေတြီပေါ်မှာ မျဉ်းဖြောင့်ဖွင့်ဆိုချက်တွေအထိဖန်တီးပြီး ငြင်းခုန်နေရသလဲဆိုတော့ မျဉ်းပြိုင်အဆိုကထင်ထားသလောက် မရိုးရှင်းဘူး၊ မသိသာဘူးဆိုတာ ပေါ်လွင်စေချင်လို့ပါ။ တကယ်တော့စက်လုံးပေါ်မှာဆွဲထားတဲ့ တြိဂံတစ်ခုရဲ့အတွင်းထောင့်အားလုံးပေါင်းက ၁၈၀ ဒီဂရီထက်များပါတယ်။ ဒီတော့ယူကလစ်ဂျီသြမေတြီရဲ့ axiom တွေက အပြား (flat plane) ပေါ်မှာသာမှန်တယ်ဆိုတာသိနိုင်ပါတယ်။ ဒီဆွေးနွေးချက်ရဲ့သင်ခန်းစာကတော့ သင်္ချာ axiom တွေဟာသက်သေပြဖို့မလိုအပ်ပဲ မှန်တယ်လို့ယူဆထားကြပေမယ့် အမြဲတမ်းမှန်သလား၊ အခြေအနေတစ်ခုမှာပဲမှန်သလားဆိုတာ မေးခွန်းထုတ်စရာဖြစ်ပါတယ်။ အလွန်သိသာတယ်လို့ထင်ရတဲ့အရာတွေကလည်း စစ်စစ်ပေါက်ပေါက်ငြင်းခုန်လိုက်တဲ့အခါ ရှုပ်ထွေးသွားတာလည်းဖြစ်နိုင်ပါတယ်။

Gödel’s Incompleteness Theorem

၁၉၃၁ ခုနှစ်မှာ Kurt Gödel ဆိုတဲ့သင်္ချာပညာရှင်က arithmetic အတွင်းမှာ သူ့ axiom တွေကိုသုံးပြီးသက်သေပြလို့မရတဲ့အဆိုတွေရှိတယ်လို့ သက်သေပြခဲ့ပါတယ်။ သင်္ချာက axiom တွေအတွင်းမှာအလုပ်လုပ်တာကြောင့် သင်္ချာနည်းနဲ့သက်သေပြလို့မရတဲ့အဆိုတွေရှိတယ်လို့လည်း ပြောနိုင်ပါတယ်။ ဒါကရှေးခေတ်ဂရိတွေမျှော်မှန်းခဲ့တဲ့ ပြီးပြည့်စုံတဲ့သင်္ချာစနစ်ဆိုတာမရှိဘူး၊ လက်ရှိသင်္ချာကလည်း အလုံးစုံကိုသက်သေမပြနိုင်ဘူး (incomplete) လို့ဆိုနိုင်ပါတယ်။

သင်္ချာကအမှန်တရားအကုန်လုံးကို သက်သေမပြနိုင်ဘူးဆိုရင် သင်္ချာကိုမှီခိုနေတဲ့သိပ္ပံပညာကရော သဘာဝတရားကိုဖော်ပြတဲ့ ဥပဒေသအားလုံးကို ဖော်ထုတ်နိုင်ပါ့မလား။ တကယ်တော့သိပ္ပံမှာလည်း သင်္ချာလိုပဲမှန်တယ်လို့ယူဆထားရတဲ့အရာတွေရှိပါတယ်။ ထင်ရှားတဲ့ဥပမာတစ်ခုကတော့ uniformity of nature လို့ခေါ်ပါတယ်။ သူ့ရဲ့အကျိုးဆက်တစ်ခုကတော့ ဒီနေ့မှာမှန်တဲ့ သီအိုရီတွေ၊ ကိန်းသေတွေက အနာဂတ်မှာလည်း မှန်နေဦးမယ်လို့ယူဆရတာပဲဖြစ်ပါတယ်။ ဥပမာ နေကအမြဲတမ်းအရှေ့အရပ်ကနေပဲထွက်ခဲ့တဲ့အတွက် မနက်ဖြန်မှာလည်းအရှေ့အရပ်ကနေပဲထွက်မယ်လို့ ခန့်မှန်းနိုင်ပါတယ်။ လေယာဉ်ပျံတွေကိုပျံစေတဲ့ သိပ္ပံသီအိုရီတွေ၊ တွက်ချက်မှုတွေကလည်း မနက်ဖြန်အတွက်မှန်နေဦးမယ်လို့ယူဆရမှာပါ။ မြေဆွဲအားကဆွဲနေရာကနေ တွန်းအားကိုပြောင်းမသွားနိုင်ပါဘူး။ အလင်းအလျင်ကိန်းသေကလည်း တစ်နေ့ကိုတစ်မျိုးဖြစ်နေတာမဟုတ်ပါဘူး။ ဒါကြောင့်သိပ္ပံဥပဒေသတွေက အချိန်ကိုလိုက်ပြီးမပြောင်းလဲဘူး (time invarient) လို့ဆိုကြပါတယ်။ (Big Bang အစပိုင်းလေးအတွင်းမှာ လက်ရှိသိပ္ပံသီအိုရီတွေက မမှန်ဘူးလို့လည်းဆိုကြပါတယ်၊ ဒါကတော့ခြွင်းချက်ပါ။)

Uniformity of nature ရဲ့နောက်အကျိုးဆက်တစ်ခုကတော့ သိပ္ပံနည်းကျတွေးခေါ်မှုမှာအရေးပါတဲ့ ကောက်ချက်ဆွဲခြင်း (induction) ပဲဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကဘာကိုပြောတာလဲဆိုတော့ လုံလောက်တဲ့စမ်းသပ်ချက်တွေနဲ့ အချက်အလက်တွေရှိရင် ယေဘူယျသီအိုရီတစ်ခုကို သက်သေပြနိုင်ပါတယ်။ ဥပမာ မြင်ဖူးသမျရေတံခွန်ကရေတွေက အောက်ကိုပဲစီးကျနေတာကိုထောက်ဆပြီ:တော့ ကမ္ဘာပေါ်ကရှိသမျှရေတံခွန်အကုန်လုံးကရေတွေက အောက်ကိုပဲစီးကျမယ်လို့ကောက်ချက်ချသလိုမျိုးပါပဲ။ ပန်းသီးကြွေကျတာကစပြီး ဘယ်ပစ္စည်းမဆိုအောက်ကိုပဲပြုတ်ကျတာကိုကြည့်ပြီး စကြဝဋ္ဌာတစ်ခုလုံးအတွက် မှန်တယ်လို့ယုံကြည်ရတဲ့ဒြပ်ဆွဲအားနိယာမကိုဖော်ထုတ်နိုင်ပါတယ်။ ဆေးဝါးအသစ်တစ်ခုကိုစမ်းသပ်တဲ့အခါ လူတွေအကုန်လုံးကိုလိုက်ပြီးစမ်းသပ်တာမဟုတ်ပေမယ့် လုံလောက်တဲ့စမ်းသပ်ခံ (sample) တွေကိုကြည့်ပြီး လူအားလုံးအတွက်ထိရောက်မှု ရှိ၊မရှိကိုဆုံးဖြတ်နိုင်ပါတယ်။

Uniformity of nature ကိုသိပ္ပံမှာအမြဲတမ်းအသုံးချနေပေမယ့် ဆိုးတာကတော့ သူ့ကိုသက်သေပြလို့မရတာပါပဲ။ ဒီနေ့ရဲ့သီအိုရီတွေက မနက်ဖြန်မှာလည်းမှန်မယ်ဆိုတာ ဘယ်လိုသက်သေပြမလဲ။ ဒါတွေကသဘာဝမို့လို့မှန်တယ်၊ အမြဲတမ်းမှန်ခဲ့တယ်၊ အတွေ့အကြုံအရမှန်တယ်လို့ ပြောမယ်ဆိုရင် ဒီအတွေးအခေါ်တွေက uniformity of nature ကိုပဲပြန်အသုံးပြုထားတာဖြစ်နေပါတယ်။ အဆိုတစ်ခုမှန်ကြောင်းသက်သေပြဖို့အတွက် အဲ့ဒီ့အဆိုကိုပြန်သုံးရမယ်ဆိုရင် ပတ်လည်ဆက်စပ်မှု (circular reasoning) ဖြစ်နေတဲ့အတွက် အဓိပ္ပာယ်မရှိပါဘူး။ အလားတူပဲတွေ့ဖူးသမျှဒြပ်ဝတ္ထုအားလုံးက အချင်းချင်းဆွဲငင်တယ်ဆိုပေမယ့် ကျွန်တော်တို့မမြင်ဖူးသေးတဲ့စကြဝဋ္ဌာတစ်နေရာရာမှာ တွန်းကန်နေတဲ့ဒြပ်ဝတ္ထုနှစ်ခုမရှိနိုင်ဘူးဆိုတာ သက်သေပြဖို့အလွန်ခက်ခဲပါတယ်။

သင်္ချာနဲ့သိပ္ပံပညာမှာ ဒီလိုမျိုးသက်သေမပြနိုင်တဲ့အရာတွေရှိတယ်ဆိုပေမယ့် ပညာရှင်တွေကတော့ဒါကိုသိပ်ပြီး စိတ်မပူကြပါဘူး။ သင်္ချာကလက်ရှိတည်ဆောက်ထားတဲ့ axiom တွေအတွင်းမှာလှပစွာ အလုပ်လုပ်နေဆဲဖြစ်ပြီး uniformity of nature ကလည်းအတွေးအခေါ်သမားတွေအတွက် ငြင်းခုန်စရာခေါင်းစဉ်ကောင်းတစ်ခုဖြစ်ပေမယ့် လက်တွေ့အရေးပါမှုကမရှိလှပါဘူး။ တစ်ချို့အရာတွေက သဘာဝကြောင့်မှန်တယ်လို့ယူဆပြီး လက်ရှိသီအိုရီတွေကိုတိုးတက်အောင်ပဲ ကြိုးစားကြပါတယ်။ ဒီလိုဆိုပေမယ့် uniformity of natureကသိပ္ပံနည်းကျတွေးခေါ်မှုတွေနောက်မှာ မသိမသာရှိနေတဲ့ယူဆချက်တစ်ခုဆိုတာတော့ မေ့မထားသင့်ပါဘူး။

အရင်တုန်းကလူတွေက အဖြူရောင်ငန်းတွေကိုပဲမြင်ဖူးကြတဲ့အတွက် ငန်းတိုင်းဟာဖြူတယ်လို့ ယူဆခဲ့ကြပါတယ်။ ဒါပေမယ့်အမည်းရောင်ရှိတဲ့ငန်း (black swan) တစ်ကောင်ကိုတွေ့လိုက်တာနဲ့ ဒီယူဆချက်ကပျက်ပြယ်သွားရပါတယ်။ ဒါကြောင့်ယေဘူယျမှန်တယ်လို့ ယူဆထားတဲ့အရာတွေကနေ ရုတ်တရက်ခွဲထွက်သွားတဲ့ဖြစ်ရပ်တွေကို Black Swan Event လို့တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပါတယ်။ အခုအချိန်မှာသိပ္ပံပညာဟာ အက်တမ်အောက်အမှုန်တွေကနေ စကြဝဋ္ဌာပြန့်ကားမှုအထိ အရှိန်အဟုန်နဲ့တိုးတက်နေပါပြီ။ အဆင့်မြင့်လှတဲ့သိပ္ပံသီအိုရီတွေကြားမှာ နောက်ထပ်အိုင်းစတိုင်းတစ်ယောက်က ဘယ်လိုပြောင်းလဲမှုတွေယူဆောင်လာမလဲဆိုတာတော့ စောင့်ကြည့်ကြရမှာပဲဖြစ်ပါတယ်။