HomeTags
About

Complex number များကို ပေါင်း၊ နှုတ်၊ မြှောက်၊ စားလုပ်ခြင်း

12 April 2018

complex number

ဖွင့်ဆိုချက် ၁။ z1z_1 နဲ့ z2z_2 ဆိုတဲ့ complex number နှစ်ခုရှိမယ်ဆိုပါတော့။ သူတို့နှစ်ခုပေါင်းချင်ရင် real part အချင်းချင်း၊ imaginary part အချင်းချင်းပေါင်းရပါမယ်။

z1=x1+iy1 z_1=x_1+iy_1
z2=x2+iy2 z_2=x_2+iy_2
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)

Complex number နှစ်ခုနှုတ်ခြင်းအတွက်ကလည်းအတူတူပါပဲ။

z1z_1 နဲ့ z2z_2 ကိုမြှောက်ရင်ရော−

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+ix2y1y1y2z_1z_2 = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1-y_1y_2
z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)

Complex number နှစ်ခုမြှောက်ရင် ပုံမှန် real number နှစ်ခုမြှောက်သလိုပဲဖြန့်ချဖို့ ဖွင့်ဆိုထားပါတယ်။ ဖြန့်ချပြီး i2=1i^2=-1 ကိုထည့်လိုက်ရင် အပေါ်ကရလဒ်ကို ရပါလိမ့်မယ်။

Complex number တစ်ခုမှာ real part နဲ့ imaginary part က ကွဲကွဲပြားပြားရှိပါတယ်။ ဥပမာ real number 7 ဆိုရင် 7=2+57=2+5 ဖြစ်နိုင်သလို 7=3+47=3+4 လဲဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် z=3+4iz=3+4i ဆိုရင်တော့ real part က 3 ဖြစ်ပြီး imaginary part က 4 သာဖြစ်တဲ့အတွက် ဒီဂဏန်းတွေကို တစ်ခြားကိန်းဂဏန်းတစ်ခုစီနဲ့ အစားထိုးလို့မရပါဘူး။ အကျိုးဆက်အနေနဲ့ complex number နှစ်ခုတူညီတယ်ဆိုရင် real part အချင်းချင်း၊ imaginary part အချင်းချင်း တူညီပါတယ်။

if z1=z2\text{if } z_1=z_2
x1=x2,y1=y2x_1=x_2, y_1=y_2

Real number xx အတွက် x-x ရှိသလိုပဲ complex number zz အတွက် z-z လည်းရှိပြီး real part ရော imaginary part ရောကို negative လုပ် (လက္ခဏာပြောင်း) ထားတာဖြစ်ပါတယ်။

if z=x+iy\text{if } z=x+iy
z=xy-z=-x-y

နောက်တစ်ခုက real part ကိုဒီအတိုင်းထားပြီး imaginary part ကိုပဲ negative ယူနိုင်ပါတယ်။ ဒီလိုလုပ်တာကို complex conjugate ယူတယ်လို့ခေါ်ပါတယ်။

z=xiyz^*=x-iy

zz^* ကို complex conjugate of z လို့ခေါ်ပါတယ်။ z\overline{z} လို့လည်းရေးလေ့ရှိပြီး z bar လို့လည်းခေါ်လေ့ရှိပါတယ်။

အခု zz နဲ့ zz^* ကိုမြှောက်ကြည့်ပါမယ်။

zz=(x+iy)(xiy)=x2+y2 z20 zz^*=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 \equiv  |z|^2\geq 0

 \equiv   သ​င်္ကေတက identical ဖြစ်တာကိုပြတာဖြစ်ပြီး ညာဘက်ကကိန်းအနေနဲ့ define လုပ်ထားတယ်လို့ အဓိပ္ပာယ်သက်ရောက်ပါတယ်။ (ဒီသင်္ကေတနေရာမှာ is identical to/ is called as လို့အစားသွင်းပြီး ဖတ်နိုင်ပါတယ်)

z=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2} ကိုတော့ z ရဲ့ modulus, or absolute value လို့ define လုပ်ထားပါတယ်။ (Vector တစ်ခုရဲ့ absolute value or length နဲ့ သဘောတရားဆင်တူပါတယ်။) zz နဲ့ zz^* ကိုသိရင် real part နဲ့ imaginary part တွေကိုအလွယ်တကူရှာနိုင်ပါတယ်။

Re(z)=z+z2 \text{Re} (z)=\frac{z+z^*}{2}
Im(z)=zz2i \text{Im} (z) = \frac{z-z^*}{2i}

Complex number နှစ်ခုစားရင်ရော။ မြှောက်နည်းကိုသိရင် စားတာကိုလည်းတွက်နိုင်ပါတယ်။ z1z2=z3\frac{z_1}{z_2}=z_3 ဆိုရင် နှစ်ဘက်လုံးကို z2z_2 နဲ့မြှောက်လိုက်ရင် z1=z3z2z_1=z_3 z_2 ရမယ်။ ဒီညီမျှခြင်းကနေ z3z_3 ရဲ့ real နဲ့ imaginary part တွေကိုရှာကြည့်ပါမယ်။

x1+iy1=(x3+iy3)(x2+iy2)=x3x2+i(x3y2)+i(y3x2)y3y2=x3x2y3y2+i(x3y2+y3x2)\begin{aligned} x_1+iy_1&=(x_3+iy_3)(x_2+iy_2) \\ &=x_3 x_2 + i (x_3 y_2)+i (y_3 x_2)-y_3 y_2 \\ &=x_3 x_2 - y_3 y_2 + i(x_3 y_2 + y_3 x_2) \end{aligned}

Real part နဲ့ imaginary part အချင်းချင်းတူလိုက်ရင်−

x1=x3x2y3y2 x_1=x_3 x_2 - y_3 y_2
y1=x3y2+y3x2 y_1=x_3 y_2 + y_3 x_2

ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်းရမယ်။ ဒီနှစ်ကြောင်းကိုယူပြီး x3x_3 နဲ့ y3y_3 ကိုရှာလိုက်ရင်−

x3=x1x2+y1y2x22+y22 x_3=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}
y3=y1x2x1y2x22+y22 y_3=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}

ကိုရပါမယ်။

ပိုပြီးလွယ်တဲ့နည်းက z conjugate ကိုသုံးဖို့ပါပဲ။ 1z=zzz\frac{1}{z}=\frac{z^*}{zz^*} လို့ရေးလို့ရပြီး zz=x2+y2zz^*=x^2+y^2 ဖြစ်တဲ့အတွက် 1z2\frac{1}{z_2} နေရာမှာ

1z2=x2iy2x22+y22 \frac{1}{z_2}=\frac{x_2-iy_2}{x_2^2+y_2^2}

ကိုထည့်ပြီး z1z_1 နဲ့မြှောက်လိုက်ရင် z3z_3 ကိုရပါပြီ။ ရလဒ်က အပေါ်ကအဖြေတွေနဲ့တူပြီး တွက်ရတာပိုတိုပါတယ်။ x22+y22x_2^2+y_2^2 က real number ဖြစ်သွားတဲ့အတွက် ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးကို real number တစ်ခုနဲ့စားလိုက်ရုံပါပဲ။

Complex conjugate ယူတာက imaginary part ကိုလက္ခဏာပြောင်းတာဖြစ်တဲ့အတွက် ii ကို i-i နဲ့အစားထိုးတာလို့လဲ ပြောလို့ရပါတယ်။ ဒီတော့ complex number နှစ်ခုပေါင်းပြီးမှ complex conjugate ယူတာနဲ့ complex conjugate ယူပြီးမှပေါင်းတာနဲ့ ရလဒ်အတူတူပါပဲ။

(z1+z2)=z1+z2 (z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*
(z1z2)=z1z2 (z_1z_2)^*=z_1^*z_2^*

အပေါ်ကညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်းကို real နဲ့ imaginary part တွေခွဲတွက်ပြီး သက်သေပြနိုင်ပါတယ်။ နောက်ထပ်သိသာတာတစ်ခုကတော့ complex conjugate ယူတာက ii တိုင်းကို i-i ပြောင်းတာဖြစ်ပြီး ညီမျှခြင်းဟိုဘက်ဒီဘက်မှာရှိတဲ့ real နဲ့ imaginary part အချင်းချင်းတူညီတဲ့အတွက် ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးမှာရှိတဲ့ ii တွေကိုလက္ခဏာပြောင်းလိုက်ရင် ညီမျှခြင်းက ဆက်မှန်နေဦးမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီတော့ complex equation တစ်ကြောင်းအတွက် complex conjugate တွေနဲ့ဖွဲ့စည်းထားတဲ့ နောက် equation တစ်ကြောင်းက အမြဲတမ်းရှိနေမှာဖြစ်ပါတယ်။


TLABlog. CC BY-NC 4.0. Some rights reserved.