Complex number များကို ပေါင်း၊ နှုတ်၊ မြှောက်၊ စားလုပ်ခြင်း

ဖွင့်ဆိုချက် ၁။   z_1 နဲ့ z_2 ဆိုတဲ့ complex number နှစ်ခုရှိမယ်ဆိုပါတော့။ သူတို့နှစ်ခုပေါင်းချင်ရင် real part အချင်းချင်း၊ imaginary part အချင်းချင်းပေါင်းရပါမယ်။

\displaystyle z_1=x_1+iy_1

\displaystyle z_2=x_2+iy_2

\displaystyle z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)

Complex number နှစ်ခုနှုတ်ခြင်းအတွက်ကလည်းအတူတူပါပဲ။

z_1 နဲ့ z_2 ကိုမြှောက်ရင်ရော−

\displaystyle z_1z_2 = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1-y_1y_2

\displaystyle z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)

Complex number နှစ်ခုမြှောက်ရင် ပုံမှန် real number နှစ်ခုမြှောက်သလိုပဲဖြန့်ချဖို့ ဖွင့်ဆိုထားပါတယ်။ ဖြန့်ချပြီး i^2=-1 ကိုထည့်လိုက်ရင် အပေါ်ကရလဒ်ကို ရပါလိမ့်မယ်။

Complex number တစ်ခုမှာ real part နဲ့ imaginary part က ကွဲကွဲပြားပြားရှိပါတယ်။ ဥပမာ real number 7 ဆိုရင် 7=2+5 ဖြစ်နိုင်သလို 7=3+4 လဲဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် z=3+4i ဆိုရင်တော့ real part က 3 ဖြစ်ပြီး imaginary part က 4 သာဖြစ်တဲ့အတွက် ဒီဂဏန်းတွေကို တစ်ခြားကိန်းဂဏန်းတစ်ခုစီနဲ့ အစားထိုးလို့မရပါဘူး။ အကျိုးဆက်အနေနဲ့ complex number နှစ်ခုတူညီတယ်ဆိုရင် real part အချင်းချင်း၊ imaginary part အချင်းချင်း တူညီပါတယ်။

\displaystyle \text{if } z_1=z_2

\displaystyle x_1=x_2, y_1=y_2

Real number x အတွက် -x ရှိသလိုပဲ complex number z အတွက် -z လည်းရှိပြီး real part ရော imaginary part ရောကို negative လုပ် (လက္ခဏာပြောင်း) ထားတာဖြစ်ပါတယ်။

\displaystyle \text{if } z=x+iy

\displaystyle -z=-x-iy

နောက်တစ်ခုက real part ကိုဒီအတိုင်းထားပြီး imaginary part ကိုပဲ negative ယူနိုင်ပါတယ်။ ဒီလိုလုပ်တာကို complex conjugate ယူတယ်လို့ခေါ်ပါတယ်။

\displaystyle z^*=x-iy z^* ကို complex conjugate of z လို့ခေါ်ပါတယ်။ \overline{z} လို့လည်းရေးလေ့ရှိပြီး z bar လို့လည်းခေါ်လေ့ရှိပါတယ်။

အခု z နဲ့ z^* ကိုမြှောက်ကြည့်ပါမယ်။

\displaystyle zz^*=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 \equiv  |z|^2\geq 0 \equiv   သ​င်္ကေတက identical ဖြစ်တာကိုပြတာဖြစ်ပြီး ညာဘက်ကကိန်းအနေနဲ့ define လုပ်ထားတယ်လို့ အဓိပ္ပာယ်သက်ရောက်ပါတယ်။ (ဒီသင်္ကေတနေရာမှာ is identical to/ is called as လို့အစားသွင်းပြီ: ဖတ်နိုင်ပါတယ်)

|z|=\sqrt{x^2+y^2} ကိုတော့ z ရဲ့ modulus, or absolute value လို့ define လုပ်ထားပါတယ်။ (Vector တစ်ခုရဲ့ absolute value or length နဲ့ သဘောတရားဆင်တူပါတယ်။) z နဲ့ z^* ကိုသိရင် real part နဲ့ imaginary part တွေကိုအလွယ်တကူရှာနိုင်ပါတယ်။

\displaystyle \text{Re} \ z=\frac{z+z^*}{2}

\displaystyle \text{Im} \  z = \frac{z-z^*}{2i}

Complex number နှစ်ခုစားရင်ရော။ မြှောက်နည်းကိုသိရင် စားတာကိုလည်းတွက်နိုင်ပါတယ်။ \frac{z_1}{z_2}=z_3 ဆိုရင် နှစ်ဘက်လုံးကို z_2 နဲ့မြှောက်လိုက်ရင် z_1=z_3 z_2 ရမယ်။ ဒီညီမျှခြင်းကနေ z_3 ရဲ့ real နဲ့ imaginary part တွေကိုရှာကြည့်ပါမယ်။

\displaystyle x_1+iy_1=(x_3+iy_3)(x_2+iy_2)

\displaystyle x_1+iy_1=x_3 x_2 + i (x_3 y_2)+i (y_3 x_2)-y_3 y_2

\displaystyle x_1+iy_1=x_3 x_2 - y_3 y_2 + i(x_3 y_2 + y_3 x_2)

Real part နဲ့ imaginary part အချင်းချင်းတူလိုက်ရင်−

\displaystyle x_1=x_3 x_2 - y_3 y_2

\displaystyle y_1=x_3 y_2 + y_3 x_2

ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်းရမယ်။ ဒီနှစ်ကြောင်းကိုယူပြီး x_3 နဲ့ y_3 ကိုရှာလိုက်ရင်−

\displaystyle x_3=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}

\displaystyle y_3=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}

ကိုရပါမယ်။

ပိုပြီ:လွယ်တဲ့နည်းက z conjugate ကိုသုံးဖို့ပါပဲ။ \frac{1}{z}=\frac{z^*}{zz^*} လို့ရေးလို့ရပြီ: zz^*=x^2+y^2 ဖြစ်တဲ့အတွက် \frac{1}{z_2} နေရာမှာ

\displaystyle \frac{1}{z_2}=\frac{x_2-iy_2}{x_2^2+y_2^2}

ကိုထည့်ပြီ: z_1 နဲ့မြှောက်လိုက်ရင် z_3 ကိုရပါပြီ။ ရလဒ်က အပေါ်ကအဖြေတွေနဲ့တူပြီး တွက်ရတာပိုတိုပါတယ်။ x_2^2+y_2^2 က real number ဖြစ်သွားတဲ့အတွက် ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးကို real number တစ်ခုနဲ့စားလိုက်ရုံပါပဲ။

Complex conjugate ယူတာက imaginary part ကိုလက္ခဏာပြောင်းတာဖြစ်တဲ့အတွက် i ကို -i နဲ့အစားထိုးတာလို့လဲ ပြောလို့ရပါတယ်။ ဒီတော့ complex number နှစ်ခုပေါင်းပြီးမှ complex conjugate ယူတာနဲ့ complex conjugate ယူပြီးမှပေါင်းတာနဲ့ ရလဒ်အတူတူပါပဲ။

\displaystyle (z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*

\displaystyle (z_1z_2)^*=z_1^*z_2^*

အပေါ်ကညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်းကို real နဲ့ imaginary part တွေခွဲတွက်ပြီ: သက်သေပြနိုင်ပါတယ်။ နောက်ထပ်သိသာတာတစ်ခုကတော့ complex conjugate ယူတာက i တိုင်းကို -i ပြောင်းတာဖြစ်ပြီး ညီမျှခြင်းဟိုဘက်ဒီဘက်မှာရှိတဲ့ real နဲ့ imaginary part အချင်းချင်းတူညီတဲ့အတွက် ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးမှာရှိတဲ့ i တွေကိုလက္ခဏာပြောင်းလိုက်ရင် ညီမျှခြင်းက ဆက်မှန်နေဦးမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီတော့ complex equation တစ်ကြောင်းအတွက် complex conjugate တွေနဲ့ဖွဲ့စည်းထားတဲ့ နောက် equation တစ်ကြောင်းက အမြဲတမ်းရှိနေမှာဖြစ်ပါတယ်။