Complex number များကို ပေါင်း၊ နှုတ်၊ မြှောက်၊ စားလုပ်ခြင်း

12 April 2018

ဖွင့်ဆိုချက် ၁။ $z_1$ နဲ့ $z_2$ ဆိုတဲ့ complex number နှစ်ခုရှိမယ်ဆိုပါတော့။ သူတို့နှစ်ခုပေါင်းချင်ရင် real part အချင်းချင်း၊ imaginary part အချင်းချင်းပေါင်းရပါမယ်။

z_1=x_1+iy_1

z_2=x_2+iy_2

z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)

Complex number နှစ်ခုနှုတ်ခြင်းအတွက်ကလည်းအတူတူပါပဲ။

$z_1$ နဲ့ $z_2$ ကိုမြှောက်ရင်ရော−

z_1z_2 = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1-y_1y_2

z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)

Complex number နှစ်ခုမြှောက်ရင် ပုံမှန် real number နှစ်ခုမြှောက်သလိုပဲဖြန့်ချဖို့ ဖွင့်ဆိုထားပါတယ်။ ဖြန့်ချပြီး $i^2=-1$ ကိုထည့်လိုက်ရင် အပေါ်ကရလဒ်ကို ရပါလိမ့်မယ်။

Complex number တစ်ခုမှာ real part နဲ့ imaginary part က ကွဲကွဲပြားပြားရှိပါတယ်။ ဥပမာ real number 7 ဆိုရင် $7=2+5$ ဖြစ်နိုင်သလို $7=3+4$ လဲဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် $z=3+4i$ ဆိုရင်တော့ real part က 3 ဖြစ်ပြီး imaginary part က 4 သာဖြစ်တဲ့အတွက် ဒီဂဏန်းတွေကို တစ်ခြားကိန်းဂဏန်းတစ်ခုစီနဲ့ အစားထိုးလို့မရပါဘူး။ အကျိုးဆက်အနေနဲ့ complex number နှစ်ခုတူညီတယ်ဆိုရင် real part အချင်းချင်း၊ imaginary part အချင်းချင်း တူညီပါတယ်။

\text{if } z_1=z_2

x_1=x_2, y_1=y_2

Real number $x$ အတွက် $-x$ ရှိသလိုပဲ complex number $z$ အတွက် $-z$ လည်းရှိပြီး real part ရော imaginary part ရောကို negative လုပ် (လက္ခဏာပြောင်း) ထားတာဖြစ်ပါတယ်။

\text{if } z=x+iy

-z=-x-y

နောက်တစ်ခုက real part ကိုဒီအတိုင်းထားပြီး imaginary part ကိုပဲ negative ယူနိုင်ပါတယ်။ ဒီလိုလုပ်တာကို complex conjugate ယူတယ်လို့ခေါ်ပါတယ်။

z^*=x-iy

$z^*$ ကို complex conjugate of z လို့ခေါ်ပါတယ်။ $\overline{z}$ လို့လည်းရေးလေ့ရှိပြီး z bar လို့လည်းခေါ်လေ့ရှိပါတယ်။

အခု $z$ နဲ့ $z^*$ ကိုမြှောက်ကြည့်ပါမယ်။

zz^*=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 \equiv  |z|^2\geq 0

$\equiv$ သင်္ကေတက identical ဖြစ်တာကိုပြတာဖြစ်ပြီး ညာဘက်ကကိန်းအနေနဲ့ define လုပ်ထားတယ်လို့ အဓိပ္ပာယ်သက်ရောက်ပါတယ်။ (ဒီသင်္ကေတနေရာမှာ is identical to/ is called as လို့အစားသွင်းပြီး ဖတ်နိုင်ပါတယ်)

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ ကိုတော့ z ရဲ့ modulus, or absolute value လို့ define လုပ်ထားပါတယ်။ (Vector တစ်ခုရဲ့ absolute value or length နဲ့ သဘောတရားဆင်တူပါတယ်။) $z$ နဲ့ $z^*$ ကိုသိရင် real part နဲ့ imaginary part တွေကိုအလွယ်တကူရှာနိုင်ပါတယ်။

\text{Re} (z)=\frac{z+z^*}{2}

\text{Im} (z) = \frac{z-z^*}{2i}

Complex number နှစ်ခုစားရင်ရော။ မြှောက်နည်းကိုသိရင် စားတာကိုလည်းတွက်နိုင်ပါတယ်။ $\frac{z_1}{z_2}=z_3$ ဆိုရင် နှစ်ဘက်လုံးကို $z_2$ နဲ့မြှောက်လိုက်ရင် $z_1=z_3 z_2$ ရမယ်။ ဒီညီမျှခြင်းကနေ $z_3$ ရဲ့ real နဲ့ imaginary part တွေကိုရှာကြည့်ပါမယ်။

\begin{aligned} x_1+iy_1&=(x_3+iy_3)(x_2+iy_2) \\ &=x_3 x_2 + i (x_3 y_2)+i (y_3 x_2)-y_3 y_2 \\ &=x_3 x_2 - y_3 y_2 + i(x_3 y_2 + y_3 x_2) \end{aligned}

Real part နဲ့ imaginary part အချင်းချင်းတူလိုက်ရင်−

x_1=x_3 x_2 - y_3 y_2

y_1=x_3 y_2 + y_3 x_2

ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်းရမယ်။ ဒီနှစ်ကြောင်းကိုယူပြီး $x_3$ နဲ့ $y_3$ ကိုရှာလိုက်ရင်−

x_3=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}

y_3=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}

ကိုရပါမယ်။

ပိုပြီးလွယ်တဲ့နည်းက z conjugate ကိုသုံးဖို့ပါပဲ။ $\frac{1}{z}=\frac{z^*}{zz^*}$ လို့ရေးလို့ရပြီး $zz^*=x^2+y^2$ ဖြစ်တဲ့အတွက် $\frac{1}{z_2}$ နေရာမှာ

\frac{1}{z_2}=\frac{x_2-iy_2}{x_2^2+y_2^2}

ကိုထည့်ပြီး $z_1$ နဲ့မြှောက်လိုက်ရင် $z_3$ ကိုရပါပြီ။ ရလဒ်က အပေါ်ကအဖြေတွေနဲ့တူပြီး တွက်ရတာပိုတိုပါတယ်။ $x_2^2+y_2^2$ က real number ဖြစ်သွားတဲ့အတွက် ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးကို real number တစ်ခုနဲ့စားလိုက်ရုံပါပဲ။

Complex conjugate ယူတာက imaginary part ကိုလက္ခဏာပြောင်းတာဖြစ်တဲ့အတွက် $i$ ကို $-i$ နဲ့အစားထိုးတာလို့လဲ ပြောလို့ရပါတယ်။ ဒီတော့ complex number နှစ်ခုပေါင်းပြီးမှ complex conjugate ယူတာနဲ့ complex conjugate ယူပြီးမှပေါင်းတာနဲ့ ရလဒ်အတူတူပါပဲ။

(z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*

(z_1z_2)^*=z_1^*z_2^*

အပေါ်ကညီမျှခြင်းနှစ်ကြောင်းကို real နဲ့ imaginary part တွေခွဲတွက်ပြီး သက်သေပြနိုင်ပါတယ်။ နောက်ထပ်သိသာတာတစ်ခုကတော့ complex conjugate ယူတာက $i$ တိုင်းကို $-i$ ပြောင်းတာဖြစ်ပြီး ညီမျှခြင်းဟိုဘက်ဒီဘက်မှာရှိတဲ့ real နဲ့ imaginary part အချင်းချင်းတူညီတဲ့အတွက် ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးမှာရှိတဲ့ $i$ တွေကိုလက္ခဏာပြောင်းလိုက်ရင် ညီမျှခြင်းက ဆက်မှန်နေဦးမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီတော့ complex equation တစ်ကြောင်းအတွက် complex conjugate တွေနဲ့ဖွဲ့စည်းထားတဲ့ နောက် equation တစ်ကြောင်းက အမြဲတမ်းရှိနေမှာဖြစ်ပါတယ်။