Complex Numbers Intro

4 April 2018

Complex number ၊ ဒါမှမဟုတ် imaginary number ဆိုတဲ့နာမည်ကိုကြားလိုက်တာနဲ့ စိတ်ကူးယဉ်ပြီ: တီထွင်ထားတဲ့ တကယ်မရှိတဲ့ကိန်းတွေလို့ မြင်တတ်ကြပါတယ်။ ဒါပေမယ့်သူတို့တွေရဲ့တည်ရှိမှုက တစ်၊ နှစ်၊ သုညဆိုတဲ့ ဂဏန်းတွေထက်ပိုပြီးစိတ်ကူးယဉ်မဆန်ပါဘူး။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ သင်္ချာအရေအတွက်တွေက ဒြပ်မဲ့ဂုဏ်သတ္တိ (abstraction) တွေသာဖြစ်ပြီ: complex number တွေရဲ့စစ်မှန်မှုကိုငြင်းခုန်ရင် သုည၊ အနှုတ်ကိန်း၊ အပိုင်းကိန်းတွေနဲ့ irrational ကိန်းတွေရဲ့ စစ်မှန်မှုကိုသာငြင်းခုန်ရပါလိမ့်မယ်။ (သင်က သင်္ချာဆိုင်ရာအတွေးအခေါ်တွေကို စိတ်ဝင်စားတယ်ဆိုရင်တော့ ဒီနေရာကအဖြေတွေကိုဖတ်ကြည့်ပါ။) အတိုဆုံးပြောရရင် Imaginary number ဆိုတဲ့နာမည်တွင်လာရခြင်းက ဒီဂဏန်းတွေကိုစခေါ်ခဲ့တဲ့သူက တစ်ခြားနာမည်ကောင်းကောင်းတစ်ခုကို ပေးဖို့မစဉ်းစားမိခဲ့တဲ့ ကံဆိုးမှုတစ်ခုသာဖြစ်ပါတယ်။ ဒါဆိုရင် complex number တို့ imaginary number တို့ဆိုတာ ဘယ်လိုကိန်းတွေလဲ။

ပထမဆုံးအောက်က function တစ်ခုကိုကြည့်ပါ။

f(x)=x^2-5x+6

$x=2$ နဲ့ $x=3$ မှာ $f(x)$ က x-axis ကိုဖြတ်ပါတယ်။ တစ်နည်း $x=2, 3$ က $f(x)=0$ ရဲ့အဖြေ၊ သို့ $f(x)$ ရဲ့ roots တွေဖြစ်ပါတယ်။ ဒီအဖြေတွေရဖို့ $f(x)$ ကို factor ခွဲ $f(x)=(x-2)(x-3)$ ပြီးတွက်နိုင်တဲ့အပြင်အောက်က quadratic formula ကိုလည်းအသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

နောက်ညီမျှခြင်းတစ်ခုကိုကြည့်ပါ။

x^2+x+1=0

ဒီညီမျှခြင်းကို ဂရပ်ချကြည့်ရင် x-axis ကိုဘယ်နေရာမှာမှမဖြတ်တာကိုတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ တစ်နည်းပြောရရင် $f(x)$ က real axis ပေါ်မှာ roots တွေမရှိပါဘူး။

Quadratic formula နဲ့တွက်ကြည့်ရင်−

x=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}

ကိုရပါလိမ့်မယ်။ ပြဿနာက $\sqrt{-3}$ ပါနေတာပါပဲ။ Square root ရဲ့အဖြေကိုနှစ်ထပ်တင်ရင် square root အထဲကကိန်းကိုရပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ကိန်းစစ်တွေ $-1,0,1.5,...$ ထဲက ဘယ်ကိန်းကိုပဲ နှစ်ထပ်တင်တင် အနှုတ်ကိန်းမရပါဘူး။ ဒါဆိုရင် ကိန်းစစ်တွေပဲ အမှန်တကယ်ရှိတယ်လို့ယူဆရင်တော့ ဒီညီမျှခြင်းမှာအဖြေမရှိပါဘူး။ ဒါပေမယ့်သင်္ချာရဲ့သဘောတရားအရ ဘယ်အရာကိုမဆို လွတ်လပ်စွာတီထွင်နိုင်ပါတယ်။ အသစ်မထွင်ရဘူးလို့ ကန့်သတ်ထားတာမရှိပါဘူး။ အသစ်ထွင်လိုက်တဲ့တစ်စုံတစ်စုံတစ်ခုအတွက် ပြဋ္ဌာန်းထားတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိတွေ၊ ဥပဒေသတွေနဲ့ ဥပဒေသတွေ အချင်းချင်း ဖီလာကန့်လန့် (contradict) မဖြစ်ဖို့ပဲလိုပါတယ်။ (သိပ္ပံမှာတော့ သီအိုရီအသစ်တစ်ခုတီထွင်ရင် အရင်ကရှိပြီးသားသီအိုရီတွေနဲ့ပါ ပြန်ပြီးချိန်ကိုက်ရပါတယ်။ တကယ်လို့ သီအိုရီတွေက မကိုက်ညီဘူး (consistent မဖြစ်ဘူး) ဆိုရင်တော့ ပြဿနာရှိပါတယ်။ သင်္ချာဆိုင်ရာတီထွင်မှုတွေကတော့ ဒီ့ထက်ကျယ်ပြန့်ပါတယ်) ဥပမာ အခုပြဿနာဖြစ်နေတဲ့ square root အတွင်းကအနှုတ်ကိန်းကို ဖြေရှင်းဖို့အတွက် $i$ ဆိုတဲ့ကိန်းတစ်ခုကိုဖန်တီးကြည့်ပါမယ်။ ဒီကိန်းရဲ့ဂုဏ်သတ္တိကတော့ သူ့ကိုနှစ်ထပ်တင်လိုက်ရင် $-1$ ရတာပဲဖြစ်ပါတယ်။

i^2=-1

i = \sqrt -1

$-3$ ဆိုတာ $-1$ နဲ့ $3$ နဲ့မြှောက်ထားတာဖြစ်တဲ့အတွက်−

\sqrt{-3}=\sqrt{-1 \times 3}=\sqrt{i^2 \times 3}=\sqrt{i^2} \sqrt{3}=i \sqrt{3}

$\sqrt{3} \approx 1.73$ ဖြစ်တဲ့အတွက် $\sqrt{-3}$ ရဲ့အဖြေက $\sqrt 3 i$ သို့ $1.73i$ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီရလဒ်ကိုအသုံးပြုပြီး quadratic formula ထဲထည့်လိုက်ရင် $x^2+x+1=0$ ရဲ့အဖြေက−

x=-\frac 12 + \sqrt 3 i

$x=-\frac 12 - \sqrt 3 i$ ရပါတယ်။

$i$ ကို unit imaginary number လို့ခေါ်ပြီး $- \frac12 + \sqrt 3 i$ ဒါမှမဟုတ် $1+2i$ လိုမျိုးကိန်းတွေကို complex number လို့ခေါ်ပါတယ်။ Complex number တွေဟာ $1,2,3$ လိုမျိုးရင်းနှီးပြီးသားကိန်းတွေရဲ့ အဆက်(extension) တစ်ခုပဲဖြစ်ပါတယ်။ Complex number တွေနဲ့မရင်းနှီးတဲ့သူဆိုရင် $1+2i$ ဆိုတဲ့တစ်တွဲလုံးကို ကိန်းတစ်ခုတည်းလို့ပြောလိုက်တဲ့အခါ ကြောင်သွားနိုင်ပါတယ်။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ $1,2,3$ ဆိုတဲ့ကိန်းတွေက တစ်ခု၊ နှစ်ခု၊ သုံးခုလို့ ရေတွက်တာကိုကိုယ်စားပြုနိုင်တဲ့ကိန်းတွေဖြစ်ပြီ: $1+2i$ ဆိုတဲ့ကိန်းကို ဘယ်လိုရေတွက်ရမှန်းမသိလို့ပါပဲ။ ဒီလိုဖြစ်ရခြင်းရဲ့ အဓိကအကြောင်းတစ်ရပ်ကတော့ ကိန်းဂဏန်း(number) တွေကို ရေတွက်ရုံသက်သက်အသုံးချတယ် (cardinal numbers တွေ) လို့ မှားယွင်းစွာထင်မြင်မှုကြောင့်ပဲဖြစ်ပါတယ်။ သင်္ချာသဘောတရားအရ ကိန်းဂဏန်းတွေဟာ ဒြပ်မဲ့သညာ (abstraction) တွေသာဖြစ်ပြီး ရုပ်ဝတ္ထုတွေပေါ်မှီခိုပြီးတော့မှ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာအဓိပ္ပာယ်တွေထွက်ပေါ်လာတာဖြစ်ပါတယ်။ ဥပမာ ၁ ဆိုတဲ့ကိန်းက သူ့ချည်းဆိုရင် ၁ ဆိုတဲ့ဂုဏ်သတ္တိပဲရှိပြီး ပန်းသီး ၁ လုံးဆိုရင် စိတ်ထဲမှာ ပန်းသီးတစ်လုံးကိုမြင်မှာပါ။ တကယ်လို့ ပန်းသီး ၀ လုံးဆိုရင်ရော။ ပန်းသီးတစ်လုံးမှမရှိဘူးပေါ့။ ပန်းသီး −၁ လုံးဆိုရင်ရော။ ပန်းသီးတစ်လုံးအကြွေးတင်နေတယ်လို့ ယူဆနိုင်ပါတယ်။ ပန်းသီး ၁.၃၃၃… လုံးဆိုရင်ရော။ ကိန်းတွေကို ရေတွက်ခြင်းနဲ့အဓိပ္ပာယ်ကောက်တာက လက်ခံနိုင်တဲ့ကိန်းတွေကျယ်ပြန့်လာတာနဲ့အမျှ ပိုပြီးခက်ခဲလာတာကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။ အတိုချုပ်ကတော့ ဥပဒေသတွေက ရှေ့နောက်မညီတာတွေမဖြစ်သေးသ၍၊ နောက်ပြီးသူတို့အသုံးဝင်တဲ့ နေရာရှိနေသေးသ၍ number ဒါမှမဟုတ် entity အသစ်တွေကို လက်ခံရပါလိမ့်မယ်။

Complex number အကြောင်းကိုဆက်ရအောင်။ $1+2i$ ဆိုတဲ့ complex number က ကိန်းနှစ်ခုပေါင်းထားသလိုဖြစ်နေပါတယ်။ (Complex ရဲ့ ဘာသာပြန်က "consisting of many different and connected parts" "မတူညီသော်လည်း ဆက်နွယ်နေသောအပိုင်းများပါဝင်ခြင်း" လို့အဓိပ္ပာယ်ရပါတယ်။) ဒါပေမယ့် $1+2$ က $3$ ဆိုတဲ့ကိန်းတစ်ခုတည်းကို ရည်ညွှန်းသလိုပဲ $1+2i$ ကလည်း ကိန်းတစ်ခုတည်းပဲဖြစ်ပါတယ်။ ယေဘူယျ complex number $z=x+yi$ မှာ ပထမကိန်း $x$ ကို real part (Re z) လို့ခေါ်ပြီး ဒုတိယကိန်း $y$ ကို imaginary part (Im z) လို့ခေါ်ပါတယ်။ Imaginary part ချည်းပဲပါတဲ့ကိန်:၊ တစ်နည်း $y \neq 0$ ချည်းပါတဲ့ကိန်းကို pure imaginary number လို့ခေါ်ပါတယ်။

Unit imaginary number $i$ နဲ့ complex number တွေကိုတီထွင်လိုက်တဲ့အတွက် square root အတွင်းမှာအနှုတ်ကိန်းဖြစ်နေတဲ့ အရင်တုန်းကမဖြေရှင်းနိုင်တဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကို အဖြေထုတ်နိုင်သွားပါတယ်။ ဒါပေမယ့်နောက်ထပ်မဖြေရှင်းနိုင်တဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကိုထပ်တွေ့ရင်ရော ဘယ်လိုလုပ်မလဲ။ ဥပမာ $\sqrt i$ တို့ $i^i$ တို့ဆိုရင်ရော အဖြေရှိရဲ့လား။ တွေ့ရတာက complex number တွေကိုလက်ခံလိုက်တာနဲ့ polynomial လိုမျိုး algebraic equation တွေအကုန်လုံးကို ဖြေရှင်းလို့ရနိုင်တာတွေ့ရပါတယ်။ (သက်သေပြချက်ကို ဖော်ပြမထားပါ)

Complex number တွေကို ပေါင်း၊ နှုတ်၊ မြှောက်၊ စား လုပ်တာနဲ့ တစ်ခြား operation တွေအကြောင်း၊ အသုံးဝင်ပုံတွေကို နောက်တစ်ပိုင်းမှာ ဖော်ပြသွားပါမယ်။

"Mathematics is the language with which God wrote the universe."

Galileo Galilei